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(完整版)高一函数大题训练附答案
一、解答题
1.已知函数有两个不同的零点.
(1)求的取值范围;
(2)记两个零点分别为,且,已知,若不等式恒成立,求的取值范围.
2.已知函数.
(1)当时,求函数的零点.
(2)当,求函数在上的最大值;
(3)对于给定的正数,有一个最大的正数,使时,都有,试求出这个正数的表达式.
3.对于函数,若存在定义域中的实数,满足且,则称函数为“类”函数.
(1)试判断,是否是“类”函数,并说明理由;
(2)若函数,,为“类”函数,求的最小值.
4.对于函数,若存在正常数,使得对任意的,都有成立,我们称函数为“同比不减函数”.
(1)求证:对任意正常数,都不是“同比不减函数”;
(2)若函数是“同比不减函数”,求的取值范围;
(3)是否存在正常数,使得函数为“同比不减函数”,若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由.
5.已知集合M是满足下列性质的函数的全体;在定义域内存在实数t,使得.
(1)判断是否属于集合M,并说明理由;
(2)若属于集合M,求实数a的取值范围;
(3)若,求证:对任意实数b,都有.
6.定义:若存在常数,使得对定义域D内的任意两个不同的实数,均有:成立,则称在D上满足利普希茨(Lipschitz)条件.
(1)试举出一个满足利普希茨(Lipschitz)条件的函数及常数的值,并加以验证;
(2)若函数在上满足利普希茨(Lipschitz)条件,求常数的最小值;
(3)现有函数,请找出所有的一次函数,使得下列条件同时成立:
①函数满足利普希茨(Lipschitz)条件;
②方程的根也是方程的根,且;
③方程在区间上有且仅有一解.
7.已知函数
(1)当时,求函数在的值域;
(2)若存在零点,求的取值范围.
8.定义在上的函数,如果满足:对任意,存在常数,都有成立,则称函数是上的有界函数,其中称为函数的上界.已知函数.
(1)当时,求函数在上的值域,并判断函数在上是否为有界函数,请说明理由;
(2)若函数在上是以3为上界的有界函数,求实数的取值范围;
(3)若,函数在上的上界是,求的解析式.
9.已知函数.
(1)当时,求函数的零点;
(2)若不等式至少有一个负解,求实数的取值范围.
10.已知定义在上的偶函数和奇函数,且.
(1)求函数,的解析式;
(2)设函数,记.探究是否存在正整数,使得对任意的,不等式恒成立?若存在,求出所有满足条件的正整数的值;若不存在,请说明理由.
11.对于函数f(x),若f(x0)=x0,则称x0为f(x)的“不动点”;若f[f(x0)]=x0,则称x0为f(x)的“稳定点”满足函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B,即A={x|f(x)=x},B={x|f[f(x)]=x}.
(Ⅰ)设f(x)=x2-2,求集合A和B;
(Ⅱ)若f(x)=x2-a,且满足?A=B,求实数a的取值范围.
12.已知集合M是满足下列性质的函数的全体:在定义域内存在使得成立.
(1)函数是否属于集合M?请说明理由;
(2)函数M,求a的取值范围;
(3)设函数,证明:函数M.
13.已知函数,
(1)分别求的值:
(2)讨论的解的个数:
(3)若对任意给定的,都存在唯一的,满足,求实数
的取值范围.
14.一般地,我们把函数称为多项式函数,其中系数,,…,.设,为两个多项式函数,且对所有的实数等式恒成立.
()若,.
①求的表达式;
②解不等式.
()若方程无实数根,证明方程也无实数解.
15.若函数满足:对于任意正数,都有,且,则称函数为“L函数”.
(1)试判断函数与是否是“L函数”;
(2)若函数为“L函数”,求实数a的取值范围;
(3)若函数为“L函数”,且,求证:对任意,都有.
【参考答案】
一、解答题
1.(1)(2)
【解析】
【详解】
试题分析:(Ⅰ)方程在有两个不同跟等价于函数与函数的图像在上有两个不同交点,对进行求导,通过单调性画出的草图,由与有两个交点进而得出的取值范围;(Ⅱ)分离参数得:,从而可得恒成立;再令,从而可得不等式在上恒成立,再令,从而利用导数化恒成立问题为最值问题即可.
试题解析:(I)依题意,函数的定义域为,
所以方程在有两个不同跟等价于函数与函数的图像在上有两个不同交点.
又,即当时,;当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减.
从而.
又有且只有一个零点是1,且在时,,在时,,
所以的草图如下:
可见,要想函数与函数在图像上有两个不同交点,只需.
(Ⅱ)由(I)可知分别为方程的两个根,即,,
所以原式等价于.
因为,,所以原式等价于.
又由,作差得,,即.
所以原式等价于.
因为,原式恒成立,即恒成立.
令,则不等式在上恒成立.
令,则,
当时,可见时,,所以在上单调递增,又在恒成立,符合题意;
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