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初中锐角三角函数

目录

contents

锐角三角函数基本概念

锐角三角函数图像与性质

锐角三角函数运算规则

锐角三角函数在实际问题中应用

锐角三角函数解题技巧与策略

锐角三角函数知识点总结与回顾

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锐角三角函数基本概念

大于0度且小于90度的角称为锐角。

锐角定义

锐角的余角也是锐角，两个锐角的和一定小于180度。

锐角性质

正弦（sine）

在直角三角形中，锐角的对边与斜边的比值称为该锐角的正弦，记作sin。

余弦（cosine）

在直角三角形中，锐角的邻边与斜边的比值称为该锐角的余弦，记作cos。

正切（tangent）

在直角三角形中，锐角的对边与邻边的比值称为该锐角的正切，记作tan。

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60度角

sin60°=√3/2，cos60°=1/2，tan60°=√3。

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30度角

sin30°=1/2，cos30°=√3/2，tan30°=√3/3。

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45度角

sin45°=√2/2，cos45°=√2/2，tan45°=1。

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锐角三角函数图像与性质

图像

正弦函数的图像是一个周期性的波浪线，其振幅为1，周期为2π。在[0,π/2]区间内，正弦函数从0增加到1，在[π/2,π]区间内从1减少到0，以此类推。

性质

正弦函数是奇函数，即sin(-x)=-sin(x)。它的值域为[-1,1]，最小正周期为2π。在[0,π/2]和[3π/2,2π]区间内，正弦函数是增函数；在[π/2,3π/2]区间内，正弦函数是减函数。

图像

余弦函数的图像也是一个周期性的波浪线，其振幅为1，周期为2π。在[0,π]区间内，余弦函数从1减少到-1，在[π,2π]区间内从-1增加到1，以此类推。

性质

余弦函数是偶函数，即cos(-x)=cos(x)。它的值域为[-1,1]，最小正周期为2π。在[0,π]区间内，余弦函数是减函数；在[π,2π]区间内，余弦函数是增函数。

正切函数的图像是一个无限延伸的曲线，它在每一个开区间(nπ-π/2,nπ+π/2)（n为整数）内都有定义。当x接近π/2或3π/2等奇数倍的π/2时，正切函数的值趋向于无穷大或无穷小。

图像

正切函数是奇函数，即tan(-x)=-tan(x)。它的值域为全体实数R，没有最小正周期。在每一个开区间(nπ-π/2,nπ+π/2)内，正切函数是增函数。

性质

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锐角三角函数运算规则

周期性。

$sin(A+2kpi)=sinA$…

正弦和余弦函数的奇偶性。

$sin(-A)=-sinA$，$cos…

互余角的三角函数关系。

$sin(pi/2-A)=cosA$…

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$sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB$

$sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB$

$cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB$

$cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB$

$tan(A+B)=frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$（当$A+Bneqkpi+frac{pi}{2}$，$k$为整数）

$tan(A-B)=frac{tanA-tanB}{1+tanAtanB}$（当$A-Bneqkpi-frac{pi}{2}$，$k$为整数）

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锐角三角函数在实际问题中应用

利用锐角三角函数可以测量建筑物、山峰等不易直接测量高度物体的高度。

测量高度

测量距离

测量角度

在航海、地理等领域，可以利用锐角三角函数测量两点之间的距离。

在工程中，经常需要测量角度，利用锐角三角函数可以通过测量边长来计算角度。

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在物理中，经常需要将一个力分解成两个分力，利用锐角三角函数可以方便地计算分力的大小。

力的分解

在研究物体的平抛运动、斜抛运动等问题时，需要利用锐角三角函数计算物体的位移、速度等物理量。

运动学问题

在研究简谐振动、波动等问题时，锐角三角函数可以用来描述振动的规律、波的形状等。

振动与波动

经济学

生物学

化学

医学

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在经济学中，锐角三角函数可以用来描述某些经济指标的变化规律，如季节性波动等。

在生物学研究中，锐角三角函数可以用来描述生物种群数量的周期性变化。

在化学中，锐角三角函数可以用来描述某些化学反应的速率变化规律。

在医学影像学等领域，锐角三角函数可以用来计算病变部位的大小、形状等参数。

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锐角三角函数解题技巧与策略

牢记正弦、余弦、正切等基本公式，并