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拉普拉斯变换

变换基本概念与性质

常用函数拉普拉斯变换

拉普拉斯逆变换方法

拉普拉斯变换在电路分析中应用

拉普拉斯变换在控制系统中应用

拉普拉斯变换数值计算方法及软件实现

contents

目

录

01

变换基本概念与性质

01

02

03

拉普拉斯变换是一种线性积分变换，用于将时间域函数转换为复平面上的频率域函数。

定义公式为：F(s)=∫f(t)e^(-st)dt，其中s为复数频率，t为时间变量，f(t)为原函数。

拉普拉斯变换将时域信号转换为频域信号，方便进行信号分析和系统设计。

延时性质

若f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，则f(t-τ)的拉普拉斯变换为e^(-sτ)F(s)，其中τ为延时时间。

位移性质

若f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，则e^(at)f(t)的拉普拉斯变换为F(s-a)，其中a为实数。

02

常用函数拉普拉斯变换

01

$u(t)$（单位阶跃函数）的拉普拉斯变换是$frac{1}{s}$

02

$delta(t)$（单位冲激函数）的拉普拉斯变换是$1$

03

$e^{-at}u(t)$的拉普拉斯变换是$frac{1}{s+a}$

04

$te^{-at}u(t)$的拉普拉斯变换是$frac{1}{(s+a)^2}$

03

拉普拉斯逆变换方法

通过查阅已知的拉普拉斯变换表，找到对应的原函数。这种方法适用于简单、常见的变换对。

将复杂的分数形式的象函数分解为简单的部分分式，然后分别查表找到对应的原函数。这种方法适用于具有有理分式形式的象函数。

部分分式法

查表法

在复平面上，象函数的极点对应的留数与原函数有直接关系。通过计算各极点的留数，可以得到原函数的表达式。

留数定理

首先确定象函数的极点，然后计算各极点的留数，最后根据留数定理得到原函数的表达式。

应用步骤

VS

通过数值计算的方法，直接求解拉普拉斯逆变换的积分表达式，得到原函数的近似值。

常见方法

包括梯形法、辛普森法等数值积分方法，以及基于快速傅里叶变换（FFT）的数值逆变换方法。这些方法适用于难以通过解析方法求解的复杂象函数。

数值逆变换

04

拉普拉斯变换在电路分析中应用

在复频域中，电阻的阻抗与频率无关，保持为常数。

电阻元件

电感元件

电容元件

电感在复频域中的阻抗与频率成正比，表现为感性阻抗。

电容在复频域中的阻抗与频率成反比，表现为容性阻抗。

03

02

01

线性时不变电路

满足叠加定理和时不变性的电路，其响应可以通过拉普拉斯变换进行分析。

传递函数

01

描述线性时不变系统输入与输出关系的函数，通过拉普拉斯变换得到。传递函数反映了系统的动态特性和频率响应特性。

频率响应

02

系统对不同频率输入信号的响应特性。通过传递函数的频率特性分析，可以了解系统对不同频率信号的放大、衰减、相移等特性。

稳定性分析

03

通过分析传递函数的极点分布，可以判断系统的稳定性。若传递函数的极点全部位于复平面的左半平面，则系统稳定；若存在位于右半平面的极点，则系统不稳定。

05

拉普拉斯变换在控制系统中应用

描述系统动态特性的数学模型，通过拉普拉斯变换将时域方程转换为复频域方程，从而得到传递函数。

传递函数

分析系统对不同频率正弦信号的响应特性，通过传递函数的频率特性曲线可以直观地了解系统的频率响应。

频率响应

根据传递函数的极点分布，可以判断系统的稳定性。若极点全部位于复平面的左半部分，则系统稳定；若极点位于右半部分，则系统不稳定。

稳定性判定

劳斯判据

一种代数判据，通过计算系统特征方程的系数，构造劳斯表，根据劳斯表的性质判断系统稳定性。

奈奎斯特判据

一种图形判据，通过在复平面上绘制系统开环频率特性曲线，并根据曲线包围临界点（-1,j0）的情况来判断系统稳定性。

伯德图

一种图形化分析工具，用于展示系统幅频特性和相频特性。通过观察伯德图上的幅值裕度和相位裕度，可以评估系统的相对稳定性和稳定裕度。

上升时间

系统响应从稳态值的10%上升到90%所需的时间，反映了系统的快速性。

峰值时间

系统响应达到第一个峰值所需的时间，也是衡量系统快速性的指标。

超调量

系统响应的最大偏离量与稳态值之差的百分比，反映了系统的阻尼程度。

调节时间

系统响应从初始状态达到并保持在稳态值附近的一个允许误差范围内所需的时间，反映了系统的调节能力。

06

拉普拉斯变换数值计算方法及软件实现

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