《基础数学（第3册）》第10章 复数.pptx

第10章复数

概述数的概念从人类的社会实践中产生，又随着社会生产力的进步和数学自身的发展不断得到补充和完善．从自然数集、整数集、有理数集到实数集，每一次数的概念的发展，新的数集都是在原有数集的基础上“添加”了一种新的数得来的．复数集的引入实现了中学阶段数系的最后一次扩充．

目录复数的概念及几何表示

10.1复数的概念及几何表示10.1.1复数的概念对于方程x2-2=0，它在有理数中无解，但把数的范围扩充到实数系后，这个方程有两个解：对于方程x2+1=0，它在实数中无解，原因是任何实数的平方都不是负数．为了解决这个问题，人们引入了一个新数i，叫做虚数单位，并规定：（1）i2=-1；（2）实数与i可以进行四则运算．进行四则运算时，原有的运算律仍然成立．

10.1复数的概念及几何表示10.1.1复数的概念设a，b都是实数，形如a+bi的数叫做复数．复数通常用小写字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)其中，a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部．例如，复数3+4i的实部是3，虚部是4；复数-2i的实部是0，虚部是-2；复数5的实部是5，虚部是0．显然，当b=0时，z是实数；当b≠0时，z叫做虚数．特别地，当a=0，b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z是实数0．

10.1复数的概念及几何表示10.1.1复数的概念全体复数组成的集合叫做复数集，用字母C表示．实数集R是复数集C的真子集.

10.1复数的概念及几何表示10.1.1复数的概念如果两个复数a+bi与c+di(a，b，c，d∈R)的实部与虚部分别相等，则称这两个复数相等，即特别地，

10.1复数的概念及几何表示10.1.1复数的概念有下列两组数：（1）z1=1+i与z2=1-i；（2）z1=-1+2i与z2=-1-2i；观察上述数可以发现，它们的实部相等，虚部互为相反数．当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，则称这两个数互为共轭复数．复数z的共轭复数用来表示，即z=a+bi的共轭复数为

10.1复数的概念及几何表示10.1.1复数的概念例1指出下列复数的实部和虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数．解-0.1i的实部是0，虚部是-0.1；1+3i的实部是1，虚部是3；2的实部是2，虚部是0； 的实部是1，虚部是0的实部是0，虚部是0；的实部是0，虚部是其中，2，0是实数；-0.1i，1+3i，，是虚数；-0.1i，是纯虚数．

10.1复数的概念及几何表示10.1.1复数的概念解由复数相等的定义，得解得例2已知 ，其中 ，求x与y．

10.1复数的概念及几何表示10.1.1复数的概念解由共轭复数的定义，得解得例3已知 与 互为共轭复数，其中a，b∈R，求a，b.

10.1复数的概念及几何表示10.1.2复数的几何表示任何一个复数z=a+bi对应了一个有序实数对(a，b)；反之，一个有序实数对(a，b)对应了一个复数z=a+bi，而有序实数对(a，b)又与直角坐标系中的点一一对应，因此可以借助直角坐标系内的点Z(a，b)来表示复数z=a+bi，也可以用复数z=a+bi来描述平面直角坐标系中的点Z(a，b)．

10.1复数的概念及几何表示10.1.2复数的几何表示如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，它表示复数z=a+bi．这个为表示复数而建立的平面直角坐标系所在的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，去掉原点的y轴叫做虚轴．x轴的单位是1，y轴的单位是i．显然，表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上，原点表示实数0．

10.1复数的概念及几何表示10.1.2复数的几何表示如图所示，设复平面内的点Z(a，b)表示复数z=a+bi，连接OZ，则由点Z(a，b)唯一确定；反之，设向量，则点Z(a，b)由向量唯一确定，而复数z=a+bi可以用点Z(a，b)来表示，所以复数z=a+bi也可以用向量来表示．

10.1复数的概念及几何表示10.1.2复数的几何表示为了方便起见，通常把复数z=a+bi说成点Z或向量，并规定：相等的向量表示同一复数．向量的模r叫做复数z=a+bi的模，记作|r|或|z|．由模的定义可知

10.1复数的概念及几何表示10.1.2复数的几何表示（1）复数z的模|z|是一个非负数，即|z|≥0；（2）复数z的模|z|的几何含义是表示点Z到原点的距离；（3）互为共轭复数的两复数的模相等，即

10.1复数的概念及几何表示10.1.2复数的几何表示例4用