复变函数绪论.pptxVIP

复变函数绪论引言复数的概念与性质复变函数的定义与性质复变函数的极限与连续性复变函数的微分与积分复变函数在各个领域的应用contents目录01引言复变函数的历史与背景起源复变函数理论起源于18世纪，当时数学家们在研究复数及其运算时发现了复变函数的特殊性质。发展随着数学理论的不断深入，复变函数逐渐成为数学分析的一个重要分支，并在物理学、工程学等领域得到广泛应用。里程碑19世纪，柯西、黎曼等数学家对复变函数进行了深入研究，建立了复变函数的基本理论，为现代复变函数论的发展奠定了基础。研究目的和意义揭示复数域上函数的性质复变函数论主要研究复数域上函数的性质，包括连续性、可微性、解析性等，这些性质在实数域上的函数中并不总是成立。拓展数学分析领域复变函数论作为数学分析的一个重要分支，不仅丰富了数学分析的理论体系，还为其他数学分支提供了有力的工具和方法。应用价值复变函数论在物理学、工程学等领域具有广泛的应用价值，如量子力学、电磁学、流体力学等领域中的许多问题都可以通过复变函数论的方法得到解决。02复数的概念与性质复数的定义与表示实部与虚部定义复数是形如$z=a+bi$的数，其中$a$和$b$是实数，$i$是虚数单位，满足$i^2=-1$。在复数$z=a+bi$中，$a$称为复数的实部，$b$称为复数的虚部。共轭复数模与辐角若$z=a+bi$，则其共轭复数为$overline{z}=a-bi$。复数$z=a+bi$的模定义为$|z|=sqrt{a^2+b^2}$，辐角$theta$满足$tantheta=frac{b}{a}$。复数的四则运算加法$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$减法$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$乘法$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$除法$frac{a+bi}{c+di}=frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=frac{ac+bd}{c^2+d^2}+frac{bc-ad}{c^2+d^2}i$复数的性质封闭性消去律复数集在四则运算下是封闭的，即任意两个复数的和、差、积、商（除数不为零）仍是复数。在复数集中，若$ab=0$，则$a=0$或$b=0$。结合律与交换律幂的性质复数集在加法和乘法下满足结合律和交换律。对于任意正整数$n$，有$(a+bi)^n=a^n+b^ni^n$。分配律欧拉公式复数集满足乘法对加法的分配律。$e^{itheta}=costheta+isintheta$，将三角函数与复数紧密联系在一起。03复变函数的定义与性质复变函数的定义复变函数是指定义在复数域上的函数，其自变量和因变量都是复数。复变函数可以表示为$w=f(z)$，其中$z=x+iy$是自变量，$w=u+iv$是因变量，$x,y,u,v$都是实数。复变函数的性质复变函数具有实部和虚部，即$u=u(x,y),v=v(x,y)$，它们都是二元实函数。01复变函数在定义域内具有连续性、可微性和可积性等性质。02复变函数的极限、连续、导数等概念与实函数类似，但需要同时考虑实部和虚部的变化。03常见复变函数类型指数函数形如$f(z)=e^z$的复变函数，其中$e$是自然对数的底数。多项式函数三角函数形如$f(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+ldots+a_1z+a_0$的复变函数，其中$a_n,a_{n-1},ldots,a_1,a_0$是复数常数。如$sinz,cosz,tanz$等，它们在复平面上具有周期性。线性函数对数函数形如$f(z)=az+b$的复变函数，其中$a,b$是复数常数。形如$f(z)=logz$的复变函数，其中$log$是自然对数。需要注意的是，在复平面上对数函数具有多值性。04复变函数的极限与连续性复变函数的极限极限的定义极限的性质极限的运算法则设函数$f(z)$在点$z_0$的某个去心邻域内有定义，如果存在常数$A$，对于任意给定的正数$epsilon$，总存在正数$delta$，使得当$0|z-z_0|delta$时，有$|f(z)-A|epsilon$，则称$A$为函数$f(z)$当$ztoz_0$时的极限，记作$lim_{ztoz_0}f(z)=A$