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《矩阵分析》复习

1矩阵的基本概念：

秩，迹，特征根，特征向量，逆，广义逆，转置，谱半径

2矩阵的标准形

相似（对角形，Jordan标准形），正交相似，酉相似（正规矩阵，上三角阵），

合同相似（对称矩阵），奇异值分解

3矩阵运算

加，减，乘，除，矩阵的幂，矩阵多项式

4矩阵的特征多项式，最小多项式

5向量与矩阵的各种范数及其计算

6特征根上界的估计，盖氏圆盘定理

7线性空间的概念，基底，维数，子空间，维数定理，直和

8线性变换，核，象，维数公式

9欧氏空间，正交，正交变换，正交基G—S过程

10二次型，正定性

11求对角形，Jordan标准形

12向量序列，矩阵序列，求导，积分,矩阵函数

自测题一

1判断正误（对正确的打“√”，对错误的打“×”）

(1)同构的两个线性空间的维数可以不同。（）

(2)按通常矩阵加法及数与矩阵乘法,全体n阶上三角矩阵的集合构成线性空间。

（）

(3)平移变换能够保持任意两个向量之间的距离不变,所以平移变换为正交变换。

()

(4)正规矩阵均可酉相似于对角阵。（）

(5)在线性变换下,线性相关的元素对应的象线性相关。()

(6)如果存在正整数m,使得Am0,则矩阵的所有特征值均为零。()

A

m

(7)limAO(零矩阵)的充要条件是，有一矩阵范数，使得⋅A1。()

m→+∞

(8)任何一个n×n阶矩阵均可与一个上三角矩阵酉相似。（）

(9)根据矩阵的盖尔圆可对矩阵的特征值的分布作出估计。（）

(10)矩阵的每一个特征值都不大于该矩阵的任何一种范数。()

A

2填空

n×n

(1)线性空间的维数为___________.

R

a−b

(2)若矩阵A,则其特征值为___________

ba

316

(3)若矩阵A,则的秩为___________

A

212

(4)若矩阵为实的反对称矩阵,其特征值实部为_____________.

A

3

(5)在中,线性变换对任意的,满足,则对

RTx,y,zT(x,y,z)(y=+z,z+x,x+y)T

应的矩阵为__________.

1−3

(6)若矩阵A，则矩阵的盖尔圆为_______________

1−A

1

2

ac−1

(7)若A非奇异,则A_______________.

0a

T

11

(8)设xmsinm,1=−，则limxm__________