高校工程数学插值求积公式教学课件.pptxVIP

高校工程数学插值求积公式教学课件

目录contents插值法基本概念与原理牛顿插值法及其应用拉格朗日插值法及其应用埃尔米特插值法及其应用分段低次插值法及其应用求积公式基本概念与原理

01插值法基本概念与原理

插值法是一种数学方法，用于通过已知的一系列数据点，构造一个新的函数，使得该函数在已知点上取值与给定数据点相符，并可用于预测未知点的函数值。插值法定义插值法在工程技术和科学研究等领域中具有广泛的应用。它可用于数据拟合、函数逼近、数值积分、数值微分、图像处理、信号处理等方面，为实际问题提供有效的数学工具。插值法作用插值法定义及作用

多项式插值01利用多项式作为插值函数，通过已知数据点构造多项式，使得多项式在已知点上取值与给定数据点相符。常见的方法有拉格朗日插值和牛顿插值。分段插值02将插值区间分成若干个子区间，在每个子区间上分别构造插值函数。这种方法可以避免高次多项式插值带来的龙格现象，提高插值精度。样条插值03利用样条函数作为插值函数，通过已知数据点构造样条函数，使得样条函数在已知点上取值与给定数据点相符。样条插值具有局部性和光滑性等优点。插值函数构造方法

误差分析插值法的误差主要来源于两个方面，一是由于测量数据本身存在误差，二是由于插值函数的选择和构造方法带来的误差。为了减小误差，可以采用更精确的测量方法和更合适的插值函数。收敛性当已知数据点数量增加时，插值函数的精度会提高，即插值函数会收敛于真实函数。收敛性的好坏与插值函数的构造方法、已知数据点的分布和数量等因素有关。为了保证收敛性，需要选择合适的插值方法和足够数量的已知数据点。误差分析与收敛性

02牛顿插值法及其应用

插值法的基本思想通过已知数据点构造一个多项式函数，使得该函数在已知点处取值与数据点相同，并利用该多项式函数进行未知点的近似计算。牛顿插值法原理基于差商的概念，构造一个具有差商性质的多项式函数，使得该函数在已知点处取值与数据点相同，达到插值的目的。牛顿插值公式推导通过差商的定义及性质，逐步推导出牛顿插值多项式的一般形式，即$N_n(x)=f[x_0]+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)+ldots+f[x_0,x_1,ldots,x_n](x-x_0)(x-x_1)ldots(x-x_{n-1})$。牛顿插值法原理及公式推导

差商表的概念差商表是用于记录差商计算结果的一种表格形式，便于进行牛顿插值多项式的构造。差商表计算步骤首先确定已知数据点，按照差商的定义逐步计算各阶差商，并将计算结果填入差商表中。通过差商表可以快速得到牛顿插值多项式。差商表示例以已知数据点$(x_0,y_0),(x_1,y_1),ldots,(x_n,y_n)$为例，展示差商表的计算过程，包括各阶差商的计算及填入表格的操作。差商表计算过程示例

03差商的计算相对简单，且易于编程实现。01优点02牛顿插值法具有承袭性，即增加新的数据点时，只需在原有基础上增加一些项，无需重新计算整个多项式。牛顿插值法优缺点分析

牛顿插值法优缺点分析对于等距节点的情况，牛顿插值法具有较好的数值稳定性。

牛顿插值法优缺点分析01缺点02当数据点分布不均匀时，牛顿插值法可能出现龙格现象（Rungephenomenon），即插值函数在区间端点附近出现较大的振荡。03对于高次插值多项式，可能出现过拟合现象，导致插值结果不准确。04在某些情况下，牛顿插值法的收敛速度较慢。

03拉格朗日插值法及其应用

拉格朗日插值法公式推导利用拉格朗日基函数进行线性组合，构造出满足插值条件的多项式函数。误差分析探讨插值多项式与被插函数之间的误差，给出误差估计公式。插值法基本原理通过已知数据点构造一个多项式函数，使得该函数在已知点处取值与数据点一致。拉格朗日插值法原理及公式推导

基函数定义给出拉格朗日基函数的定义及性质。基函数构造方法详细阐述如何根据已知数据点构造拉格朗日基函数。基函数应用举例通过具体实例展示拉格朗日基函数在插值计算中的应用。拉格朗日基函数构造方法

拉格朗日插值法构造多项式相对简单，易于实现。每个基函数只与对应的数据点有关，具有局部性特点。拉格朗日插值法优缺点分析局部性构造简单

适用性广：适用于等距和非等距节点，对节点分布无特殊要求。拉格朗日插值法优缺点分析

当插值节点增多时，插值多项式可能在某些区间内出现剧烈震荡，导致误差增大。龙格现象收敛性问题对异常值敏感对于某些函数，随着节点数的增加，插值多项式的收敛性可能无法保证。若数据点中存在异常值，拉格朗日插值法可能受到较大影响，导致插值结果不准确。030201拉格朗日插值法优缺点分析

04埃尔米特插值法及其应用

埃尔米特插值法原理及公式推导通过已知数