线性代数（第六版）课件：矩阵.pptVIP

*证(三)逆矩阵的运算性质注意A,B可逆，A+B不一定可逆，即使可逆,一般*推论：可逆阵A若对称(反对称),则也对称(反对称).对称；反对称。对于可逆矩阵而言，矩阵乘法的消去律成立。证证*例证两边取行列式，得所以可以证明，去掉A可逆这个条件，上述结论仍然成立。*例证*例解*例解**类似有特别，另外，*一般地，有*例设解*解例利用矩阵分块的方法，求下列矩阵的逆矩阵：所以*第六节矩阵的初等变换定义下面三种变换称为矩阵的初等行变换:同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．*初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．逆变换逆变换逆变换定义由单位矩阵E经过一次初等变换，得到的矩阵称为初等矩阵。初等矩阵有下列3种：*(1)对E施以第(1)种初等变换得到的矩阵.i行i列j行j列*(2)对E施以第(2)种初等变换得到的矩阵.i行i列*(3)对E施以第(3)种初等变换得到的矩阵.*初等矩阵的逆矩阵还是同类型的初等矩阵：*(2)对A施以某种初等列变换,相当于用同种的n阶初等矩阵右乘A.(1)对A施以某种初等行变换,相当于用同种的m阶初等矩阵左乘A.定理设A为阶矩阵，证略。例*矩阵等价：等价关系的性质：如果矩阵B可以由矩阵A经过有限次初等变换得到，则称矩阵A和B为等价的，记作定义*定理任意一个矩阵A经过有限次初等变换，的矩阵，称之为A的等价标准形。证略。总可以化为形如*例将下列矩阵化为标准形：解**练习将下列矩阵化为标准形：解*若A、B为同阶对称阵(反对称阵)，则仍为对称阵(反对称阵)。A、B为同阶对称阵，AB未必对称；只有A、B可交换，AB才对称。(证明留作练习)设A是n阶反对称矩阵,B是n阶对称矩阵,则AB+BA是反对称矩阵.练习(AB+BA)T=(AB)T+(BA)T=BTAT+ATBT=B(-A)+(-A)B=-(AB+BA).证*练习C解反对称；*第四节分块矩阵对于规模较大，零较多或局部比较特殊的矩阵，为了简化运算，经常采用分块法，把大矩阵分割成小矩阵。在运算时，把这些小矩阵当作元素一样来处理。具体做法是：将矩阵用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。*例*例*分块矩阵的运算规则(1)分块矩阵A与B的行数相同,列数相同,采用相同的分块法,有*由于矩阵的加法与数乘比较简单，一般不需用分块计算。*分块矩阵转置时，先按块转置，再将各子块内部转置。**例设解则*又于是*形如的分块矩阵,称为准上三角阵,类似有准下三角阵.准下三角阵几种特殊分块矩阵的行列式和逆矩阵*(2)准三角矩阵有如下性质：(1)设A、B两个同类型的准三角矩阵，则均为同类型的准三角矩阵。*特别,称为准对角矩阵.*准对角矩阵除了具有准三角阵的性质以外,还有：特别，*例设解*解例设*第五节逆矩阵则矩阵B称为A的逆矩阵。在数的运算中，当数时，有其中为a的倒数；单位阵E类似于1在数的乘法运算中的地位。那么，对于矩阵A，如果存在一个矩阵B，使得对任何方阵A，有AE=EA=A,(一)逆矩阵的概念*则称A为可逆矩阵,而B称为A的逆矩阵,记为定义例设设A是n阶方阵,如果存在n阶方阵B,使得解得证。*例解所以*定理若矩阵A是可逆的，则A的逆矩阵必唯一。证设B和C都是A的逆矩阵，则结合律问题:(1)什么条件下A才可逆？*(二)矩阵可逆的条件上式两边取行列式,若则称矩阵A是非奇异的(或满秩的)；否则称A为奇异的(或降秩的)。下面说明这个条件也是充分的。定理定义*伴随矩阵：定义称为A的伴随矩阵。代数余子式,矩阵*例解*性质证明回忆行列式按行展开公式：类似地，按列展开公式可得*定理矩阵A是可逆的充分必要条件是A非奇异；证充分性：必要性：已证；所以A可逆，且有当A非奇异时，有*