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人教版高中数学选择性必修第三册6-2-1排列

目录CONTENTS排列基本概念与性质排列组合问题求解策略典型排列问题解析与讨论排列在现实生活中的应用举例拓展延伸：从排列到组合再到概率初步认识

01排列基本概念与性质

从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列。排列定义排列通常用符号P或A表示，如P(n,m)或A(n,m)表示从n个元素中取出m个元素的所有排列的个数。表示方法排列定义及表示方法

排列数是从n个元素中取出m个元素的所有排列的个数，而组合数是从n个元素中取出m个元素的所有组合的个数。因此，排列数与组合数的关系可以表示为P(n,m)=C(n,m)×m!，其中C(n,m)表示从n个元素中取出m个元素的组合数，m!表示m的阶乘。排列数与组合数的关系排列数与组合数的区别在于排列考虑了元素的顺序，而组合没有考虑元素的顺序。因此，排列数比组合数多考虑了元素的顺序，排列数的计算也比组合数复杂。但是，它们之间也有联系，即排列数可以通过组合数和阶乘来计算。区别与联系排列数与组合数关系

排列性质探究性质1排列具有有序性。即对于同一组元素，不同的排列顺序会得到不同的排列结果。性质3排列具有对称性。即从n个元素中取出m个元素的排列数与从n个元素中取出(n-m)个元素的排列数相等，即P(n,m)=P(n,n-m)。性质2排列具有重复性。即从n个元素中取出m个元素的排列中，有些排列结果是相同的。性质4排列具有互补性。即从n个元素中取出m个元素的排列数与从n个元素中取出(n-m)个元素的排列数的和等于从n个元素中取出任意个数元素的排列数之和，即P(n,m)+P(n,n-m)=ΣP(n,i)，其中i从0到n。

02排列组合问题求解策略

根据题目要求，从给定的元素中选取符合要求的元素进行排列。选定元素确定排列顺序计算排列数根据题目要求或元素间的相对关系，确定元素的排列顺序。根据排列公式$A_n^m=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$，计算符合条件的排列数。030201直接法求解排列问题

间接法求解排列问题排除不符合要求的排列先求出全部可能的排列数，再排除不符合题目要求的排列数。利用对立事件求解当直接求解符合条件的排列数比较困难时，可以考虑求解其对立事件的排列数，再用总数减去对立事件的排列数得到答案。利用容斥原理求解当需要同时满足多个条件时，可以考虑利用容斥原理求解符合条件的排列数。

根据题目特点，建立排列数与某些参数之间的递推关系。建立递推关系通过递推关系式，逐步推导出符合条件的排列数。求解递推关系在解题过程中，灵活运用递推关系式，简化计算过程，提高解题效率。应用递推关系解题递推关系在求解中应用

03典型排列问题解析与讨论

元素相邻问题对于要求某些元素必须相邻的排列问题，可以将这些相邻元素看作一个整体进行排列，然后再考虑整体内部的排列。例如，5个元素中有2个元素必须相邻，则先将这2个元素看作一个整体，与其余3个元素一起进行排列，共有$A_4^4$种排法；然后考虑这2个相邻元素之间的排列，共有$A_2^2$种排法；因此，总的排列数为$A_4^4timesA_2^2$。元素不相邻问题对于要求某些元素不能相邻的排列问题，可以先将没有限制的元素进行排列，然后再将有限制的元素插入到已排好的元素中。例如，5个元素中有2个元素不能相邻，则先将其余3个元素进行排列，共有$A_3^3$种排法；然后将这2个不能相邻的元素插入到已排好的3个元素中，由于它们不能相邻，因此有4个空位可供选择，共有$A_4^2$种插法；因此，总的排列数为$A_3^3timesA_4^2$。元素相邻或不相邻问题

VS对于要求某些元素按照一定顺序排列的问题，可以先将这些元素与其他元素一起进行排列，然后再除以这些元素的全排列数。例如，5个元素中有3个元素必须按照一定顺序排列，则先将这5个元素进行排列，共有$A_5^5$种排法；但是这3个元素之间有$A_3^3$种全排列方式，因此，满足条件的排列数为$frac{A_5^5}{A_3^3}$。元素不定序问题对于没有特定顺序要求的排列问题，直接按照一般排列方法进行计算即可。元素定序问题元素定序或不定序问题

多项式系数和二项式系数问题多项式系数通常与排列组合中的组合数有关。例如，在$(a+b+c)^n$的展开式中，某一项的系数可以表示为从n个元素中选取k个元素的组合数$C_n^k$。具体计算时，可以根据题目要求选取合适的组合公式进行计算。多项式系数问题二项式系数是二项式定理中的关键概念，表示为$C_n^k$，即从n个不同元素中取出k个元素的组合数。在排列组合问题中，二项式系数经常与二项式定理的展开式以及概率计算等问题相关联。例如，在投掷硬币的概率计算