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CT系统参数标定及成像研究

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李佳鑫温佳颖冯万里

摘要：本文通过分析CT系统工作原理及附件中各个参数的研究，在合理假设条件下，对数据进行处理，运用数学软件Matlab中的radon和iradon等函数建立数学模型，在此过程中，我们运用了中心切片定理、傅里叶函数、直接滤波投影法、滤波反投影图像重建等方法对CT系统参数标定及成像进行分析和求解。

针对问题一，有题目要求和研究分析可知，此题我们要根据题目所给数据重建原始图像，通过直接滤波投影法以及对特殊位置的分析进行相应的数学计算和位置匹配，可以得到旋转中心的位置。同样，观察水平或垂直特殊位置的数据可以得到180次旋转的方向。

针对问题二，此介质形状是未知的，根据滤波反射投影法，中心切片定理等使用MATLAB中的iradon函数对附件3进行图像重建，得到灰度图像，可以确定该介质的几何形状，再经旋转计算，即可得到未知介质在正方形托盘中的位置图像。转换为旋转后的图像矩阵，即可得到图3对应位置的吸收率。

关键词：直接滤波投影法；CT图像重建法；radon函数

一、问题重述

（1）根据扫描系统所得数值，建立模型，以得到CT系统的旋转中心，探测器单元之间的距离和CT系统使用的X射线的180个方向，对参数标定。

（2）利用上述CT系统得到的某未知介质的接收信息。利用（1）中得到的标定参数，确定未知介质在正方形托盘中的位置、几何形状和吸收率等信息。并且，具体写出图3所给的10个位置处的吸收率。

二、模型假设

假设1假设忽略像素、载物台偏角、观测器俯仰角和数据不确定元素对测量误差的影响。

假设2考虑到此处光子的波动不明显，忽略光的衍射现象，以光的直线传播进行处理。

三、问题分析

题目要求根据所提供的各点对射线的吸收率分析，确定CT系统旋转中心在正方形托盘中的位置、探测器单元之间的距离以及该CT系统使用的X射线的180个方向。附件一对应图像2，附件二对应模板接收的信息。此时只需利用附件二数据，建立坐标系，通过直接滤波投影法，将这512个等距单元的探测器在180个方向的所得数据转化为图像。再分析图像即可解答问题一。

四、模型的建立与求解

4.1问题一的模型建立与求解

4.1.1模型准备

（1）符号说明

X1椭圆长轴与x射线方向平行的旋转次数X2椭圆长轴与x射线方向垂直的旋转次数

Ea模板示意图中椭圆的长轴长度H1附件二中第X2列非零值的个数θX射线每次旋转的度数

4.1.2模型的建立

（1）旋转中心确定

首先我们利用直接滤波投影法得到模板图像，确定了图像的平面直角坐标系，以椭圆中心为坐标原点

附件二数据导入MATLAB中，用imagesc函数画出以旋转次数为横坐标，以衰减量为纵坐标的图像如图5-3，观察二者的关系。经过max函数等，很容易得出，旋转过程中有两个特殊位置——X1、X2。

横坐标为X1的一列显然对应的是沿x轴正方向入射的射线，横坐标为x2的一列显然对应的是沿y轴正方向入射的射线。

根据这两个特殊位置，可以算出旋转中心。在x1对应的线上，可从图中知中心在第25单元上，与5-2对应的位置既是CT系统的旋转中心，在5-6中坐标为（-9.2734，5.5363）。

（2）探测器单元之间的距离

探测器单元之间的距离可以根据Ea与H1的比值得出。已知小球直径为8mm，对应到图5-3中是29个单元，椭圆长轴80mm对应到图5-3是289个单元。由此可得探测单元之间的距离为0.2768mm。

4.2问题二的模型建立与求解

4.2.1模型准备

（1）中心切片定理

密度函数f（x，y）在某一方向上的投影函数gθ（R）的一维傅里叶变换函数gθ（ρ）是原密度函数f（x，y）的二维傅里叶变换函数F（ρ，θ）在（ρ，θ）平面上沿同一方向且过原点的直线上的值。

我们在不同的角度下取得足够多的投影函数数据，并作他们的傅里叶变换，变换后的数据就将充满（u，v）平面，将其做第一次傅里叶反变换，就得到了原始衰减函数f（x，y）.

（2）符号说明

P原始数据矩阵（附件3）I对P图像重建后的矩阵

J将I缩放为256*256大小的矩阵A10处位置的坐标矩阵

4.2.2模型建立与求解

将附件3导入MATLAB中，得到原始数据矩阵P，使用iradon函数对P进行图像重建，同時将图像旋转θ，得到对P图像重建后的矩阵I。将I缩放为256*256大小的矩阵J，用imagesc函数画出J的图像，该图像即为介质在方形托盘中的位置。将附件4导入MATLAB中，得到10处位置的坐标矩阵A，将A的每个元素乘以256/100，得到对应J中的坐标矩阵，找出该矩阵中的坐标在矩阵J中对应的值，就得到了10处位置的吸收率。

五、模型的优缺点分析

优点：模型的计算大量采用Matlab、Excel等数学与统