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固体力学作业薄板的振动的固有频率与振型
固体力学作业薄板的振动的固有频率与振型全文共1页,当前为第1页。MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\r1\h固体力学作业
固体力学作业薄板的振动的固有频率与振型全文共1页,当前为第1页。
薄板的振动的固有频率与振型
1、问题
矩形薄板的参数如下
求矩形薄板在
(1)四边简支(2)四边固支
条件下的固有频率和振型
2、薄板振动微分方程
薄板是满足一定假设的理想力学模型,一般根据实际的尺寸和受力特点来将某个实际问题简化为薄板模型,如厚度要比长、宽的尺寸小得的结构就可以采用薄板模型。薄板在上下表面之间存在一个对称平面,此平面称为中面,且假定:
(1)板的材料由各向同性弹性材料组成;
(2)振动时薄板的挠度要比它的厚度要小;
(3)自由面上的应力为零;
(4)原来与中面正交的横截面在变形后始终保持正交,即薄板在变形前中面的法线在变形后仍为中面的法线。
为了建立应力、应变和位移之间的关系,取空间直角坐标Oxyz,且坐标原点及xOy坐标面皆放在板变形前的中面位置上,如REF_Ref420399910图1所示。设板上任意一点a的位置,将由变形前的坐标x、y、z来确定。
图SEQ图\*ARABIC1薄板模型
根据假定(2),板的横向变形和面内变形u、v是相互独立的。为此,其弯曲变形可由中面上各点的横向位移所决定。根据假定(4),剪切应变分量为零。由薄板经典理论,可以求得板上任意一点沿三个方向的位移分量的表达式分别为
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根据应变与位移的几何关系可以求出各点的三个主要是应变分量为
胡克定律,从而获得相对应的三个主要应力分量为:
现画薄板微元的受力图如REF_Ref420656647\h图2所示。
REF_Ref420656647\h图2所示中分别为OB面、OC面上所受到的单位长度的弯矩、扭矩和横切剪力。弯矩和扭矩都用沿其轴的双剪头表示。Mx、My是由正应力σx、σx引起的合力矩。扭矩是由剪切力τxy引起的合力矩。
图SEQ图\*ARABIC2薄板应力示意图
p(x,y,t)=P(x,y)f(t)为具有变量分离形式的外载荷集度,沿z轴方向。应用动静法计算时,沿z轴负方向有一虚加惯性力,根据,,则有
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整理后,可得
整理得到
由弯矩的计算公式
将式GOTOBUTTONZEqnNum585619REFZEqnNum585619\*Charformat\!(1.2)代入式GOTOBUTTONZEqnNum796045REFZEqnNum796045\*Charformat\!(1.8),积分后得
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再将式GOTOBUTTONZEqnNum129296REFZEqnNum129296\*Charformat\!(1.9)代入式GOTOBUTTONZEqnNum746102REFZEqnNum746102\*Charformat\!(1.5),即可得到薄板微元的运动微分方程为
这是一个四阶的线性非齐次的偏微分方程。其中为薄板的抗弯刚度。
3、矩形板横向振动微分方程的解
矩形板的横向自由振动的微分方程为
或写成
其中
设解的形式是时间变量和坐标变量可以分离的形式:
将式GOTOBUTTONZEqnNum444221REFZEqnNum444221\*Charformat\!(1.13)代入式GOTOBUTTONZEqnNum393257REFZEqnNum393257\*Cha
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