9The binomial theorem A-level考试纯数学P1课件.pptVIP

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ThebinomialtheoremChapter9

x+y(x+y)2(x+y)3(x+y)nThebinomialtheorem

Expanding(x+y)nItisusefultostartbylookingat(x+y)nforn=2,3,and4

14641133112111Row1Row2Row3Row4ThecoefficientsformthepatternofPascal’strianglePredictthecoefficientsinthefifthrow15101051Row5

ExampleWritedowntheexpansionof(1+y)6

ExampleMultiplyoutthebracketsintheexpression(2x+3)4

ExampleFindthecoefficientofx3intheexpansionof(3x–4)5Thepowerof3x(or-4)startedfrom(3x)5(or(-4)5)successivelyreduceby1,andthepowersof-4(or3x)increaseby1untilreachingtheterm(-4)5(or(3x)5)coefficients1,5,10,10,5,110×(3x)3×(-4)2=10×27×16x3=4320x3

ExampleExpand(1+2x+3x2)3

ThebinomialtheoremThebinomialtheoremstatesthat,ifnisanaturalnumber,

andwherer=0,1,2,3,...Thebinomialcoefficientsaregivenbyand

ExampleCalculatethecoefficientofx11y4intheexpansionof(x+y)15

EachtermofPascal’striangle,exceptforthe1sattheendofeachrow,isobtainedbyaddingthetwotermsimmediatelyaboveit.Oneofitsproperties

ProvetheequationExample

WecanalsousethebinomialtheoremtofindapproximationtoanumberFindthefirstfourtermsintheexpansionof(2–3x)10inascendingpowersofx.Byputtingx=1/100,findanapproximationto1.9710correcttothenearestwholenumber.