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数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)

数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)

第一章：数值分析导论

1.解答：数值分析是一门研究如何使用计算机来解决数学问题的学

科。它包括了从数学理论到计算实现的一系列技术。数值分析的目标

是通过近似的方式求解数学问题，其结果可能不是完全精确的，但是

能够满足工程或科学应用的要求。

2.解答：数值分析在实际应用中起着重要的作用。它可以用于求解

复杂的数学方程、计算机模拟及建模、数据的统计分析等等。数值分

析是科学计算和工程计算的基础，对许多领域都有着广泛的应用，如

物理学、经济学、生物学等。

3.解答：数值方法指的是使用数值计算的方式来求解数学问题。与

解析方法相比，数值方法一般更加灵活和高效，可以处理一些复杂的

数学问题。数值方法主要包括了数值逼近、插值、数值积分、数值微

分、线性方程组的求解、非线性方程的求根等。

4.解答：计算误差是指数值计算结果与精确解之间的差异。在数值

计算中，由于计算机的有限精度以及数值计算方法本身的近似性等因

素，都会导致计算误差的产生。计算误差可以分为截断误差和舍入误

差两种。

第二章：数值误差分析

1.解答：绝对误差是指实际值与精确值之间的差异。例如，对于一

个计算出的数值近似解x和精确解x_0，其绝对误差为|x-x_0|。绝对

误差可以衡量数值近似解的精确程度，通常被用作评估数值计算方法

的好坏。

2.解答：相对误差是指绝对误差与精确解之间的比值。对于一个计

算出的数值近似解x和精确解x_0，其相对误差为|(x-x_0)/x_0|。相

对误差可以衡量数值近似解相对于精确解的精确度，常用于评估数值

计算方法的收敛速度。

3.解答：舍入误差是由于计算机的有限精度而引起的误差。计算机

中使用的浮点数系统只能表示有限的小数位数，因此在进行数值计算

过程中，舍入误差不可避免地会产生。舍入误差会导致计算结果与精

确结果之间存在差异。

4.解答：误差限度是指对于给定的数值计算问题，所能容忍的误差

范围。在实际应用中，由于误差的产生是无法避免的，因此需要确定

一个合理的误差限度来判断数值计算结果的可接受性。误差限度的选

择要考虑到具体的应用需求和实际情况。

第三章：插值与外推

1.解答：插值是指通过已知的离散数据点，在两个已知数据点之间

构造一个函数，使得该函数经过已知数据点。插值方法可以用于在连

续区间上估计函数的值，通过已知数据点的信息来推断未知数据点的

值。

2.解答：拉格朗日插值是一种常用的插值方法，它利用已知数据点

构造一个满足插值条件的多项式。拉格朗日插值多项式的特点是经过

所有已知数据点，并且能够精确还原已知数据点的函数值。

3.解答：牛顿插值是一种使用差商的插值方法。差商是指通过已知

数据点构造的一组系数，用于构造插值多项式。牛顿插值多项式的特

点是可以通过递推的方式计算，从而简化了计算过程。

4.解答：外推是指利用已知数据点构造的插值函数，在已知区间之

外进行数据预测。外推方法主要用于估计函数在已知数据点之外的值，

通过插值函数的性质来预测未知区间的函数行为。

第四章：数值积分与数值微分

1.解答：数值积分是指通过数值计算的方式来求解定积分。定积分

是求解函数与横轴之间的面积或曲线长度的方法之一。数值积分方法

可以灵活地适用于各种类型的函数，包括了矩形法、梯形法、辛普森

法等。

2.解答：数值微分是指通过数值计算的方式来求解导数和高阶导数。

导数是用于描述函数变化率的概念，数值微分方法主要用于在给定的

数据点上计算函数的导数值，包括了前向差分、后向差分、中心差分

法等。

3.解答：复合数值积分是一种将求解区间划分为多个小区间，并在

每个小区间上进行数值积分的方法。复合数值积分可以通过增加划分

的数目来提高数值积分的精确度，并能够适应复杂函数的求积需求。

4.解答：龙贝格积分是一种逐步逼近的数值积分方法，它通过不断

对区间进行细分，并对每个小区间进行数值积分，最终得到一个收敛

的积分值。龙贝格积分方法在计算效率和精度上都有一定的优势。

总结：数值分析是一门研究如何使用计算机来解决数学问题的学科。

它涵盖了数值方法、数值误差分析、插值与外推、数值积分与数值微

分等知识内容。通过学习数值分析，我们可以掌握各种数值计算方法，

并能够在实际应用中灵活运用。数值分析在科学计算和工程计算中起

着重要的作用