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第6专题计数原理与概率统计

目录计数原理基本概念古典概型及其概率计算条件概率与独立性检验随机变量及其分布函数数学期望与方差分析概率统计在现实生活中的应用

01计数原理基本概念

从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列。排列从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个元素中取出m个元素的一个组合。组合排列与组合定义

阶乘定义n的阶乘记作n!，是指从1乘到n的所有自然数的乘积。计算公式n!=n×(n-1)×(n-2)×...×1。阶乘计算公式

重复排列从n个不同元素中可重复地选取m个元素。不管其顺序合成一组，称为从n个元素中取m个元素的可重复排列。非重复排列从n个不同元素中不重复地选取m个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个非重复排列。重复与非重复情况区分

密码设置在设置密码时，通常会要求密码包含一定数量的大写字母、小写字母、数字和特殊字符，这就可以通过排列组合来计算出可能的密码数量。彩票选号彩票选号就是一种典型的组合问题，需要从一定范围内选择出指定数量的号码。比赛排名在比赛中，参赛选手的排名情况也可以通过排列组合来计算。例如，有n个选手参加比赛，那么所有可能的排名情况就有n!种。实际应用举例

02古典概型及其概率计算

特点样本空间的样本点数量有限；事件发生的概率等于该事件包含的样本点数量与样本空间样本点总数之比。每个样本点发生的可能性相等；定义：古典概型是一种基于等可能性的概率模型，其中每个样本点发生的可能性相等。古典概型定义及特点

样本空间与事件关系样本空间古典概型中所有可能样本点的集合。事件样本空间的子集，即某些样本点组成的集合。事件与样本空间的关系任何事件都是样本空间的子集，样本空间是自身的子集。

概率计算公式及性质概率计算公式对于古典概型中的事件A，其发生的概率P(A)定义为事件A包含的样本点数量与样本空间样本点总数之比，即P(A)=m/n，其中m为事件A包含的样本点数量，n为样本空间样本点总数。非负性对于任何事件A，有P(A)≥0；规范性对于样本空间Ω，有P(Ω)=1；可加性对于互斥事件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)。

123抛一枚均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的概率均为1/2。抛硬币问题掷一枚均匀的六面骰子，每个面朝上的概率均为1/6。掷骰子问题从装有n个大小、形状、质地等完全相同的球（其中有m个红球）的袋子中随机抽取一个球，抽到红球的概率为m/n。抽球问题实际应用举例

03条件概率与独立性检验

在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记作P(A|B)。P(A|B)=P(AB)/P(B)，其中P(AB)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。条件概率定义及计算公式条件概率计算公式条件概率定义

P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)，用于计算两个事件同时发生的概率。乘法公式如果事件B1,B2,...,Bn构成一个完备事件组，且都有正概率，则对任意一个事件A，有P(A)=ΣP(Bi)P(A|Bi)，用于计算事件A发生的概率。全概率公式乘法公式和全概率公式应用

事件独立性判断方法定义法如果P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立。等价条件法如果事件A与事件B相互独立，则以下四个条件等价：P(AB)=P(A)P(B)；P(A|B)=P(A)；P(B|A)=P(B)；P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)。

医学诊断天气预报金融风险评估人工智能与机器学习实际应用举例在已知某种疾病发病率和某种检测方法准确率的条件下，计算某人被检测出患有该疾病的概率。在已知市场历史数据和当前市场信息的条件下，评估某种金融产品未来收益或损失的概率。在已知历史气象数据和当前气象观测数据的条件下，预测未来某时段内天气状况的概率。在已知训练数据集和模型参数的条件下，计算模型对新数据的预测概率。

04随机变量及其分布函数

VS随机变量是定义在样本空间上的实值函数，它将样本空间中的每一个样本点映射到一个实数。随机变量分类根据取值方式的不同，随机变量可分为离散型随机变量和连续型随机变量。离散型随机变量取值为有限个或可列个，而连续型随机变量取值则充满某个区间。随机变量定义随机变量概念及分类

离散型随机变量的分布律描述了随机变量取各个值的概率。分布律定义通过概率的加法原理和乘法原理，结合古典概型、几何概型等概率模型，可以求解离散型随机变量的分布律。求解方法离散型随机变量分布律求解

概率密度函数定义连续型随机变量的概率密度函数描述了随机变量在某个区间内取值的概率分布情况。求解方法通过微积分等数学工具