例析常微分方程在数学建模中的应用.pdf

例析常微分方程在数学建模中的

应用

本文通过常微分方程与数学建模双方间的紧密关系，掌握微分

方程的普通观点、微分方程解的存在惟一性、微分方程的平稳

性问题、利用多个比较突出的数学模型比如：人口、减肥数

学、化工车间通风、传染病传播等多种模型和定性研究等案例

来表现微分方程在数学建模内

1、绪论

常微分方程的产生和普及逐渐与大多数学科密切相关，如力

学、天文学、物理学等。随着数学其他分支的迅速发展，诞生

了许多新的学科。这些新学科的出现对后来常微分方程的推广

和使用产生了深远的影响。另外，目前计算机的高效发展为常

微分方程的使用和理论分析准备了强大高效的工具。

数学中处理实际问题需要建立模型，但数学建模是用数学语

言描述真实现象的过程。在通过数学处理各种实际问题时，建

立数学模型是非常关键的一步，但也是相对困难的一步。建立

数学模型的过程主要是将复杂的实际问题简化、抽象成科学的

数学结构的过程。通过充分的调查和收集相关信息，可以查看

和分析真实主体的内在特征和本质规律，关注问题的主要矛

盾，创建表达真实问题的数量关系。然后，我们就可以用数学

理论和方法来研究和处理问题。

因此，本文首先介绍如何建立微分方程模型，并用详细的案

例来说明微分方程在数学建模中的运用。

例析常微分方程在数学建模中的应用2

2.1微分方程的一般形式

如果记住了，可以化为一阶方程的形式。一般的解决方案如

下:

例1.求方程组

解将变量分离得

两边积分，即得

因而，通解为

这里c是任意正常数.或者解出y，写出显函数形式的解

2.2微分方程解的存在惟一性

正规方程组(2.3)的解在什么条件下存在且唯一？有以下定

理。

定理2.1（Cauchy—peano）如果函数在上连续，则方程

组（2.3）在上有解满足初值条件，此处

定理3.2如果函数在上连续，且满足利普希茨

（Lipschitz）条件（即存在正常数L使得，，其中，则方程

组（2.3）满足初值条件的解是惟一的。

2.3微分方程的稳定性问题

在实际问题中，微分方程描述了物质系统的运动规律。在用

微分方程分析这个物理过程时，人们必须思考作用于这个过程

的关键因素，但必须鄙视一些人为的次要因素。这些次要因素

一般称为干扰因素，在现实中可以瞬间或持续发挥影响。数学

上，前者会引起初始条件的改变。后者会作用于微分方程本身

的变化。在实际问题中，干扰因素是真实存在的，所以我们可

例析常微分方程在数学建模中的

应用

本文通过常微分方程与数学建模双方间的紧密关系，掌握微分

方程的普通观点、微分方程解的存在惟一性、微分方程的平稳

性问题、利用多个比较突出的数学模型比如：人口、减肥数

学、化工车间通风、传染病传播等多种模型和定性研究等案例

来表现微分方程在数学建模内

1、绪论

常微分方程的产生和普及逐渐与大多数学科密切相关，如力

学、天文学、物理学等。随着数学其他分支的迅速发展，诞生

了许多新的学科。这些新学科的出现对后来常微分方程的推广

和使用产生了深远的影响。另外，目前计算机的高效发展为常

微分方程的使用和理论分析准备了强大高效的工具。

数学中处理实际问题需要建立模型，但数学建模是用数学语

言描述真实现象的过程。在通过数学处理各种实际问题时，建

立数学模型是非常关键的一步，但也是相对困难的一步。建立

数学模型的过程主要是将复杂的实际问题简化、抽象成科学的

数学结构的过程。通过充分的调查和收集相关信息，可以查看

和分析真实主体的内在特征和本质规律，关注问题的主要矛

盾，创建表达真实问题的数量关系。然后，我们就可以用数学

理论和方法来研究和处理问题。

因此，本文首先介绍如何建立微分方程模型，并用详细的案

例来说明微分方程在数学建模中的运用。

例析常微分方程在数学建模中的应用2

2.1微分方程的一般形式

如果记住了，可以化为一阶方程的形式。一般的解决方案如

下:

例1.求方程组

解将变量分离得

两边积分，即得

因而，通解为

这里c是任意正常数.或者解出y，写出显函数形式的解

2.2微分方程解的存在惟一性

正规方程