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数列

A、等差数列知识点及例题

一、数列

由a与S

n n

的关系求a

n

由S求a时，要分n=1和n≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的

n n

?S (n?1)

形式表示为a

??1 。

?n S

?

n

S

n?1

(n?2)

〖例〗根据下列条件，确定数列?a

?的通项公式。

n

（2）……累乘可

（2）

…

…

累

乘

可

得

，

（3）

故

分析：（1）可用构造等比数列法求解；

可转化后利用累乘法求解；

解答：（1）将无理问题有理化，而后利用an与Sn

解答：（1）

二、等差数列及其前n项和

（一）等差数列的判定

1、等差数列的判定通常有两种方法：

第一种是利用定义，a ?a ?d(常数)(n?2)，第二种是利用等差中项，即2a ?a ?a (n?2)。

n n?1 n n?1 n?1

2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断。

通项法：若数列{a}的通项公式为n的一次函数，即a=An+B,则{a}是等差数列；

n n n

前n项和法：若数列{a}的前n项和S是S ?An2

n n n

Bn的形式（A，B是常数），则{a}是等差数列。

n

注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。

〖例〗已知数列{a

n

1

}的前n项和为S

n

，且满足S

n

S

n?1

2S

n

gS

n?1

?0(n?2),a?1

1 2

求证：{S

n

}是等差数列；

求a的表达式。

n

分析：（1）S

n

S

n?1

2S

n

gS

n?1

?0? 1与

S

n

1

S

n?1

的关系?结论；

（2）由1的关系式?S

S n

n

的关系式?a

n

解答：（1）等式两边同除以S

n

gS 得

n?1

1

S

n?1

1 1

-S +2=0，即S -

n n

1

S

n?1

=2（n≥2）.∴{

1 1

S }是以S

n 1

1

=a=2为首项，

1

以2为公差的等差数列。

（2）由（1）知

1 1

S =S

n 1

+（n-1）d=2+(n-1)×2=2n,∴S

n

1

=2n

,当n≥2时，a

n

=2S

n

S =

n?1

1

2n(n?1)

。又∵

?1

1 ?2

(n?1)

a? ，不适合上式，故a ?? 。

1 2 n ? 1

(n?2)

??2n(n?1)

【例】

nn已知数列{an}的各项均为正数，a1＝1.其前n项和Sn满足2S＝2pa2＋an－p(p∈R)，则{an}的通项公式为 ．

n

n

∵a＝1，∴2a＝2pa2＋a

－p，

1 1 1 1

即2＝2p＋1－p，得p＝1.

于是2S

＝2a2＋a

－1.

n n n

当n≥2时，有2S

＝2a2 ＋a

－1，两式相减，得2a

＝2a2－2a2

＋a－a

，整理，得2(a＋a

)·(a－a

n－1

n－1

n－1

n n n－1

n n－1

n n－1 n

n－1

1

－2)＝0.

1 1 n＋1

n n n1 2 n n 22又∵a0，∴a－a ＝，于是{a}是等差数列，故a＝1＋(n－1)·

n n n1 2 n n 2

2

－

（二）等差数列的基本运算

n(a?a) n(n?1)

1、等差数列的通项公式a=a+（n-1）d及前n项和公式S ?

1 n ?na

d，共涉及五个量a，

n 1 n 2 1 2 1

a，d,n,S

n n

,“知三求二”，体现了用方程的思想解决问题；

2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a

1

和d是等差数列的两个基本量，用它们

表示已知和未知是常用方法。

S d d d S

注：因为

n? n?a

?a

(n?1) ，故数列{ n}是等差数列。

n 2 1 2 1 2 n

〖例〗已知数列{x

n

}的首项x

1

=3，通项x

n

?2np?nq(n?N?,p,q为常数)，且x

1

，x，x

4 5

成等差数列。求：

p,q的值；

数列{x

n

}的前n项和S

n

的公式。

分析：（1）由x

1

和的数列分别求和。

=3与x

1

，x，x

4 5

成等差数列列出方程组即可求出