等差数列知识点总结及练习.docx

PAGE

PAGE1

等差数列

【知识点】

等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差

（常用字母“d”表示）

⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；

⑵．对于数列{a},若a－a =d(与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N?，则此

n n n?1

数列是等差数列，其中d为公差

等差数列的通项公式：a ?a ?(n?1)d【或a

a ?a

?am?(n?m)d】∴d= m n

n 1 n

等差中项

m?n

如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，如果A是x

y A x＋y

和 的等差中项，则 ＝2.

等差数列的前n项和公式

n(a ?a) n(n?1)d

S ? 1 n

1：n 2

S

2：n

?na ?

1 2

公式二又可化成式子：

S ?dn2n 2

(a

1

d)n

2 ，当d≠0，是一个常数项为零的二次式

性质：

等差数列{an}中，公差为d，

若d＞0，则{an}是递增数列；若d=0，则{an}是常数列；

若d＜0，则{an}是递减数列．

?a

?是等差数列，若m?n?p?q

n

?a ?a

m n

?a ?a

p q

?a ?a ?a ?a ?…?a ?a

1 n 2 n?1 r n?r?1

若p，q，r成等差数列，a，a，a

p q r

也成等差数列。

公差为d的等差数列?a?中，其子系列a，a ，a ，…(m?N)也

n k k?m k?2m

成等差数列，且公差为md。

公差为d的等差数列?a

?中，连续相同个数的项的和也成等差数列，

n

即S ，S

m 2m

S ，S

m 3m

S ，…也成等差数列，其公差为m2d。

2m

等差数列的前n项和的性质：

①若项数为2n

?n??*

?，则

S ?n?a?a

? S S nd

，?

，

? ?

S a

奇? n ．

2n n n?1 偶 奇

S a

偶 n?1

? *? ? ? S n

②若项数为2n?1

n??

，则S

?

2n?1

2n?1

a，且S ?S

n 奇 偶

?a， 奇

n S

偶

?n?1

（其中S ?na ，S ??n?1?a ）．

奇 n 偶 n

充要条件的证明：

?a ?a ?d

?n?1 n

?2an?1

?a ?a

n n?2

?a ?dn?c（关于n的一次函数）

?n

?a?为等差数列?

?S ?an2

?n

?

bn（a、b为常数，是关于n的常数项

n

7、最值问题

? 为0的二次函数）

?d?0?递增数列

?

?d?0?常数列

??d?0?递减数列

?

在等差数列{a}中，a＞0，d＜0，则S存在最大值，若a＜0，d＞0，

n 1 n 1

则S存在最小值．

n

一个推导

利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式：

S＝a＋a＋a＋…＋a，①

n 1 2 3 n

S＝a＋a ＋…＋a，②

n n n－1

1

n a＋a

①＋②得：S＝

n

1 n .

2

【对应练习】

题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用）

1、.等差数列{a}的前三项依次为a-6，2a-5，-3a+2，则a 等于（ )

n

A.-1 B.1 C.-2 D. 2

n1n+1n101A．49

n

1

n+1

n

101

A．49

B．50

C．51

D．52

=2a+1，则a

的值为 （ ）

3．等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（ ）

A．92 B．47 C．46 D．45

4、已知等差数列{a

}中，a ?a

n 7 9

?16,a

4

?1,则a

12

的值是( )

A 15 B 30 C 31 D 64

首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是

（ ）

d＞8

d＜3 C.

8≤d＜3

8

D. ＜

d≤3

3 3 3

anan?16、.在数列{a}中，a ?3，且对任意大于1的正整数n

a

n

a

n?1

n 1

)在直

x?y?

?0 上，则a = .

3n

3

?7、在等差数列{a}中，a＝3，a＝－2，则a＋a＋…＋a＝ ．

?

458、等差数列?a

4

5

n

n