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第六章定积分的应用

第六章定积分的应用

高等数学学习指导

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第六章 定积分的应用

一、基本要求及重点、难点

1、基本要求：

理解定积分的元素法。

掌握科学技术问题中建立定积分表达式的元素法（微元法），会建立某些简单几何量

（如平面图形的面积、旋转体的体积、平面曲线的弧长等）和物理量（如功、水压力等）的积分表达式。

2、重点及难点：

重点：一些简单几何量的定积分表示

难点：定积分的元素法

二、内容概述

1、(1) 应用定积分的元素法，关键是根据题中的具体条件，利用几何或物理的知识，求出所求量的微元。步骤为：(a)选取坐标系，确定积分变量并确定其变化区间[a，b]。(b)任

取一个小区间[x，x+dx]? [a，b]，计算在这个小区间上部分量?U的近似值dU?f(x)dx，

求解定积分U??b

a

f(x)dx

重点掌握求平面图形的面积，先作平面区域的大致图形，根据具体条件选用适当的坐标系，在直角坐标系下，选取适当的积分变量和积分区间，然后写出面积的积分表达式进

行计算；若平面图形由曲线y?f(x),y?g(x)及x?a,x?b,(a?b,f(x)?g(x))围

成，则平面图形的面积为A??b[g(x)?f(x)]dx。在极坐标系下，若有曲线r?r(?)及

a

射线???,???(???)所围成的曲边扇形，则曲边扇形的面积为A?

??1[r(?)]2d?；

?2

若有曲线及r?r(?),r?r(?)（r(?)?r

(?)）射线???,???(???)所围成的曲

1 2 1 2

边扇形，则曲边扇形的面积为A?

??1{[r(?)]2?[r(?)]2}d?；

?2 2 1

重点掌握求立体的体积：(a)旋转体的体积：绕x(或y)轴旋转，取x(或y)为积分变量，并确定x(或y)的积分区间；(b)已知截面面积求体积：重点找出x点处截面面积函数A(x)

重点掌握求平面曲线的弧长，重点掌握参数方程所表示的曲线弧的弧长。

2、面积公式

分类 公式

由曲线y?f(x)(f(x)?0,分段连续)及

x?a,x?b(a?b)与x轴所围成的曲边梯形

图例

Y

y?f(x)

的面积：A??b

a

f(x)dx 0 a b X

由曲线x??(y)(?(y)?0,分段连续)及 Yd

y?c,y?d(c?d)与y所围成的曲边梯形的

?c

?

d

x??(y)

面积：A?

?(y)dy 0 X

c

直 由曲线y?f(x),y?g(x)(f(x),g(x)分段连 Y

角 续)及x?a,x?b(a?b)所围成的曲边图形

坐0a

坐

?b

y?f(x)

bX

的面积：A?

标

f(x)?g(x)dx

a

y?g(x)

c系 由曲线x??(y),x??(y)(?(y),?(y)分段连续)及y?c,y?d(c?d)所围成的曲边梯形

c

Y

x??(y) d

x??(y)

的面积：A??d

c

?(y)??(y)dy 0 X

若曲线由参数方程

?x?x(t)

??y?y(t)

?

??t??表示

x(?)?a,x(?)?b,x(t)在[?,?]上具有连续

导数， y(t) 连续，则该曲线与

x?a,x?b,a?b,x轴所围成的曲边梯形

的面积：A=?b

a

ydx???

?

y(t)x(t)dt

极

极

由曲线r?r(?)及射线???,???,???所

??r(?)

坐

围成的曲边扇形的面积：A?1??[r(?)]2d?

2

?

0

?

?

X

标

系

由曲线r?r(?),r?r(?)及射线

1 2

???,???,???所围成的平面图形的面

积：A?1??r2(?)?r2(?)d?

2

?

1

2

分类公式物体位于x

分类

公式

物体位于x?a,x?b(a?b)之间，过点x

图例

平

面截面已知