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?等比数列知识点总结及题型归纳
?
1、等比数列的定义：
2、通项公式：
an ?qa
n?1
?q?0
??n?2,且n?N*
，q称为公比
aa ?aqn?1? 1qn?A?Bn?a?q?0,A?B?0?，首项：a
a
；公比：q
n 1 q 1 1
a a
推广：a
n
?aqn?m?qn?m? nm a
?q?
n?man
m m
3、等比中项：
如果a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项，即：A2?ab或
abA??
ab
注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（
数列?a
?是等比数列?a
n n
2?a
n?1
a
n?1
4、等比数列的前n项和S公式：
n
当q?1时，S ?na
n 1? ?
a当q?1时，S
a
a 1?qn
? 1
aq
? 1 n
n 1?q
a a
1?q
? 1 ? 1 qn?A?A?Bn?ABn?A（A,B,A,B为常数）
1?q 1?q
5、等比数列的判定方法：
用定义：对任意的n，都有a
?qa或an?1?q(q为常数，a ?0)?{a}
为等比数列
n?1 n a n n
n
等比中项：a
n
2?a
n?1
a
n??1
(a a
n?1
n?1?
?0)?{a
n
}为等比数列
通项公式：a
n
?A?Bn
A?B?0
?{a
n
}为等比数列
?6、等比数列的证明方法：
?
a依据定义：若 n ?q
a
a
n?1
7、等比数列的性质：
?q?0
??n?2,且n?N*
或a
n?1
?qa
n
?{a
n
}为等比数列
对任何m,n?N*，在等比数列{a
n
}中，有a
n
?aqn?m。
m
若m?n?s?t(m,n,s,t?N*)，则a?a
n m
?a?a
s t
。特别的，当m?n?2k时，
得a?a
n m
?a2 注：a?a
k 1 n
?a?a
2
n?1
?aa
3
n?2
???
数列{a
n
}，{b
n
}为等比数列，则数列{ }，{k?a
ka n
k
n
}，{a
n
k}，{k?a
n
?b}，{n}n b
an
a
（k为非零常数）均为等比数列。
数列{an}为等比数列，每隔k(k?N*)项取出一项(am,am?k,am?2k,am?3k,???)仍为等比数列
如果{a
n
}是各项均为正数的等比数列，则数列{log
a
a}是等差数列
n
若{a
n
}为等比数列，则数列S，S
n 2n
S，S
n 3n
S ,???，成等比数列
2n
若{a
n
}为等比数列，则数列a?a
1 2
?????a
n
，a
n?1
a
n?2
?????a
2n
，a
2n?1
a
2n?2
??????a
3n
成等比数列
{a?0，则{a
}为递增数列
（9）①当q?1时， 1? n
a 0，则{a
1 n
}为递减数列
{
②当0q?1时，
a?0，则{a
n1
n
a?0，则{a
n
}为递减数列
}为递增数列
③当q?1时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列）；
④当q?0时,该数列为摆动数列.
（10）在等比数列{a}中，当项数为2n(n?N*)时，S奇?1
n S q
偶
二、考点分析
考点一：等比数列定义的应用
1、数列?a?满足a ??1a
?n?2?，a?4，则a
???．
n n 3
n?1
1 3 4
、在数列?a
n
?中，若a
1
?1，a
n?1
?2a
n
?1?n?1?，则该数列的通项
a ???．
n
考点二：等比中项的应用
1、已知等差数列?a
n
?的公差为2，若a，a
1 3
，a成等比数列，则a
4 2
?（ ）
A．?4 B．?6 C．?8 D．?10
2、若a、b、c成等比数列，则函数y?ax2?bx?c的图象与x轴交点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不确定
3、已知数列?a
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