动量及动量守恒.docx

第五讲 动量及动量守恒

冲量

恒力的冲量指的是力与其作用时间的乘积。随时间改变的力对物体的冲量是指力的作用对时间的积累效果,即力对时间的积分：

I??t2F(t)dt

t

1

动量

动量是物质运动的一种量度，用P表示。它定义为质点的质量m与其速度v的乘积,即

P?mv。动量的单位是千克·米/秒(kg?m/s).

质点的动量定理

1质点所受的合外力的冲量等于其动量的增量，称之为质点动量定理.其积分形式为

1

2I??t2F(t)dt??PdP?mv

2

mv

??(mv)，

t P

1 0

其微分形式为

?

dP?Fdt?dI，

即质点动量的元增量等于作用在它上面的的元冲量。

质点系的动量定理

如右图所示,质点系由n个质点组成,动量各为Pi（i=1，2，…，n），

第i个质点受系统内其它质点作用的内力之和为F

i内

，受系统外部作用的

合外力为F

i外

，对系统内各质点分别应用微分形式的动量定理：F ?F ?

1外 1内

dp

1，…，

dt

F ?F

?dpi。把各质点相加，得到?F

?F

??dpi

。考虑到系统内质点

i外 i内 dt

i外 i内 dt

所受内力之和等于零，即?F

i内

?0。可得质点系动量定理的微分形式：

?F ?d?p

i外 dt i

。用dt乘等式两边，得?F

i外

dt?d?p

i

，再对等式两边积分，可得

质点系动量定理的积分形式：?t

t0

?F dt??p

i外 i

?p

i0

，即一段时间内质点系动量的

增量等于质点系所受合外力的冲量。

质心运动定理

? ? ? ? ?

F?ma

c

即dI?mdv

c

?dp

c

在质心系中，所有质点相对于质心的总动量为0.（请同学们自己尝试证明）

动量守恒定律

如果质点系不受外力或所受外力之和（或合外力的冲量）为零，则质点系的动量将保持

1

不变。即

若? F ?0,则? mv ?常矢量。

i外 i i

i i

补充：

巴普勒定理：一个平面物体，质量分布均匀，令其上各质点沿垂直于平面的方向运动，在空间扫过一立体体积，则此体积等于面物体面积与质心运动路程的乘积。

例1：求半径为R的半圆盘质心的位置。

例2：宇宙飞船在定向流动的陨石碎块粒子流中，以速度v迎着粒子流方向运行。然后调转船头，开始以速度v顺着粒子流方向运行，此时发动机的推力为原来的0.25倍。试求粒子流的速度。设飞船被看成两端平坦的圆柱形，且碰撞是弹性的。（P156）

2

例3：把粉状物料从小车B中以每秒b千克的速率吹进小车A中。物料铅直向下地喷出料筒，故和小车B有着相同的水平速度u。求A车中质量为M，速度为v时，A车的加速度。

例4：设火箭的总质量为M，其中燃料的质量为m，喷出气体相对于火箭的速度为vr且单位时间内喷出的质量与总质量成正比（比例系数为k），假设火箭竖直升空，能达到的最大

速度为多少？（177）

3

1 2例5：一物体竖直向上发射，当它达到最高点时炸裂成3块等质量的碎片。其中一块竖直向下经时间t落回地面，其它两块经时间t同时落地。求物体发生炸裂时的高度h。（154）

1 2

练习1 如图所示，长度为L、质量为M的船停止在静水中（但未抛锚），船头上有一个质量为m的人，也是静止的。现在令人在船上开始向船尾走动，忽略水的阻力，试问：当人走到船尾时，船将会移动多远？

4

练习2 如图所示，由喷泉中喷出的水柱，把一个重为G的垃圾桶顶在空中。水以速率

v、恒定的质量增率k（即单位时间内喷出水的质量k??m）从地下射向空中。求垃圾桶

0 ?t

可停留的最大高度。设水柱碰到桶底后以相同的速率反弹。（161）

练习3 以为宇航员机器身上设备总质量为M，意外中脱离他的宇宙飞船，并在相对于飞船

00距离d处保持相对静止。设备的桶内装有质量为m的氧气（mM），桶上装有一个喷嘴，

0

0

0可使气体以平均速度v相对宇航员高速一次性喷射。宇航员需依靠喷出氧气反冲回宇宙飞船，还得用氧气维持呼吸。设宇航员单位时间内消耗氧气的质量为R。

0

若一次性喷出的气体质量为m，求宇航员获得的速度及到达飞船的时间？

剩下的氧气供他呼吸还能维持多长时间？

若宇航员能安全回到飞船，求喷出氧气的质量m应满足什么条件？

5

练习4

如图1所示，用手拿住质量为M的匀质重绳的上端使其下端刚好着地，绳长为l。突然放开手，使