垂径定理课件北师大版数学九年级下册.pptx

*3.3垂径定理第三章圆

问题:赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.

探究一如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M.1垂径定理及其推论ABOCDM(1)右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？圆的对称性：

圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线，圆的对称轴有无穷多条.

连接OA，OB，则OA=OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中，∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴点A和点B关于CD对称.ABOCDM合作证明圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.

(2)你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.ABOCDM证明：连接OA，OB，则OA=OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中，∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM，∠AOC=∠BOC.∴∠AOD=180°－∠AOC，∠BOD=180°－∠BOC.∴∠AOD=∠BOD.

ABOCDM垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，(条件)推导格式：你能用几何语言表示吗？定义总结∴AM=BM，，.(结论)

例1如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm，OE=6cm，则AB=cm.·OABE解析：连接OA.∴AB=2AE=16(cm).16∵OE⊥AB，典例精析

想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？是不是，因为没有垂直.是不是，因为AB，CD都不是直径.OABCABOEABDCOEABOCDE

一条直线：⑤平分弦所对的劣弧①过圆心②垂直于弦③平分弦④平分弦所对的优弧思考探索上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？垂径定理ABOCDM

探究二如图，AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M．ABOCDM(1)这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？(2)你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.

ABOCDM解：(1)连接AO、BO，则AO=BO.又∵AM=BM，∴∠AMO=∠BMO=90°.∴CD⊥AB.∴△AOM≌△BOM(SSS).证明举例由垂径定理可得

归纳总结垂径定理的逆定理平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.·OABCD“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.圆的两条直径是互相平分的.特别说明：

垂径定理的本质是：满足其中任两条，必定同时满足另三条（1）一条直线过圆心（2）这条直线垂直于弦（3）这条直线平分不是直径的弦（4）这条直线平分不是直径的弦所对的优弧（5）这条直线平分不是直径的弦所对的劣弧知二推三

ABCDOhrd赵州桥中，弦长a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：指圆心O到弦的距离d+h=r数量关系总结垂径定理往往转化成应用勾股定理解直角三角形回顾导入

解得R≈27.3.即赵州桥主桥拱的半径约为27.3m.∴R2=(R-7.23)2+18.52，解：如图，过桥拱所在圆的圆心O作AB的垂线，交于点C，交弦AB于点D，则CD=7.23.由垂径定理，得AD=AB=18.5，设⊙O的半径为Rm.在Rt△AOD中，AO=R，OD=R-7.23，AD=18.5.由勾股定理，得

例2如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD，点O是弧CD的圆心)，其中CD=600m，E为弧CD上的一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径.解:连接OC.●OCDEF┗设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.根据勾股定理，得解得R=545.∴这段弯路的半径约为545m.

1.如图a、b，一弓形弦长为cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为＿_＿＿____cm.C图bDCBOADOAB图a2或12指弦中点到弦所对的弧中点的距离练一练