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第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛试题A(小学高年级组)
一、填空题(每小题10分,共80分)
1.如右图,边长为12米的正方形池塘的周围是草地,池塘边A,B,C,D处各有一根木桩,且AB=BC=CD=3米.现用长4米的绳子将一头羊拴在其中的某根木桩上.为了使羊在草地上活动区域的面积最大,应将绳子拴在处的木桩上.
【考点】圆与扇形
【答案】B
【解析】拴在B处活动区域最大,为圆。
2.在所有是20的倍数的正整数中,不超过2014并且是14的倍数的数之和是.
【考点】最小公倍数,等差数列
【答案】14700
【解析】,,.
3.从1~8这八个自然数中任取三个数,其中没有连续自然数的取法有种.
【考点】计数
【答案】20
【解析】解法一:枚举法
(1)三奇数:135、137、157、357,4个;
(2)三偶数:246、248、268、468,4个;
(3)两奇一偶:136、138、158、147、358、257,6个;
(4)两偶一奇:247、258、146、148、168、368,6个;
共4+4+6+6=20种.
解法二:排除法
1~8中任取三个数,有种不同的取法
其中三个连续数有6种(123~678)
两个连续数有5+4+4+4+4+4+5=30种(如124、125、126、127、128等)
则满足题意的取法有56—6—30=20种.
4.如右图所示,网格中每个小正方格的面积都为1平方厘米.小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影(马的轮廓由小线段组成,小线段的端点在格子点上或在格线上),则这个剪影的面积为平方厘米.
【考点】格点与面积
【答案】56.5
【解析】如图(见下页),通过分割和格点面积公式可得小马总面积为56.5个正方形,即面积为56.5平方厘米。
边上点数÷2+内部点数—1=4÷2+1—1=211.51.50.5160.51232341230.52.5
边上点数÷2+内部点数—1
=4÷2+1—1=2
1
1.5
1.5
0.5
16
0.5
1
2
3
2
3
4
12
3
0.5
2.5
黑线圈中部分的面积也可用长方形(蓝框)减去两个三角形
5.如果成立,则“○”与“□”中可以填入的非零自然数之和最大为.?
【考点】最值,分数比较大小
【答案】77
【解析】,通分,将分母统一为□×5,,□≥9
,通分能得到,○×□<77
乘积最大为76,要使和最大,应两数相差最多
76=1×76,当○=1,□=76时,两数之和最大,为1+76=77.
6.如右图,三个圆交出七个部分.将整数0~6分别填到七个部分中,使得每个圆内的四个数字的和都相等,那么和的最大值是.
【考点】数阵图,最值
【答案】15
【解析】要使圆内四个数字的和最大,则中间同时属于三个圆的区域填6,
同时属于两个圆的区域依次填入5、4、3
最后填入0、1、2即可,如下图。
3210456
3
2
1
0
4
5
6
7.学校组织1511人去郊游,租用42座大巴和25座中巴两种汽车.如果要求恰好每人一座且每座一人,则有种租车方案.
【考点】不定方程
【答案】2
【解析】设大巴a辆,中巴b辆
根据题意列不定方程42a+25b=1511
1511÷25…11,则42a÷25…11,42a个位为6,经试验当a=8时,b=47
当a=8+25=33时,b=5,共2组整数解。
8.平面上的五个点A,B,C,D,E满足:AB=8厘米,BC=4厘米,AD=5厘米,DE=1厘米,AC=12厘米,AE=6厘米.如果三角形EAB的面积为24平方厘米,则点A到CD的距离等于厘米
【考点】勾股定理
【答案】
【解析】(1)由题意AB=8厘米,BC=4厘米,AC=12厘米,可知点A、B、C在同一条直线上;
(2)AD=5厘米,DE=1厘米,AE=6厘米,可知点A、D、E在同一条直线上;
(3)三角形EAB的面积为24平方厘米,,可知A
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