人教版八年级数学下册_16.1二次根式.pptxVIP

1人教版八年级数学下册_16.1二次根式

目录contents二次根式基本概念与性质二次根式四则运算二次根式化简与求值二次根式在生活中的应用拓展内容：无理数和超越数简介总结回顾与课堂互动环节

301二次根式基本概念与性质

形如$sqrt{a}$（$ageq0$）的式子叫做二次根式。二次根式定义二次根式用根号“$sqrt{}$”来表示，被开方数$a$必须是非负数。表示方法二次根式定义及表示方法

$sqrt{a}geq0$（$ageq0$），即二次根式的值总是非负的。非负性$sqrt{a}timessqrt{b}=sqrt{atimesb}$（$ageq0$，$bgeq0$），即两个非负二次根式的乘积等于它们被开方数的乘积的平方根。乘法定理若$a$和$b$是两个非负实数，则$sqrt{a}+sqrt{b}$只有当$a=b$时才能合并成一项，即$sqrt{a}+sqrt{b}=2sqrt{a}$（$a=b$）。加法定理二次根式性质

例1化简$sqrt{8}$。解$sqrt{8}=sqrt{4times2}=sqrt{4}timessqrt{2}=2sqrt{2}$。例2计算$sqrt{12}+sqrt{27}$。典型例题解析

典型例题解析解$sqrt{12}+sqrt{27}=sqrt{4times3}+sqrt{9times3}=2sqrt{3}+3sqrt{3}=5sqrt{3}$。例3已知$x=sqrt{3}+1$，求$x^{2}-2x+1$的值。解将$x=sqrt{3}+1$代入$x^{2}-2x+1$中，得

$$x^{2}-2x+1=(\sqrt{3}+1)^{2}-2(\sqrt{3}+1)+1$$典型例题解析

$$=3+2sqrt{3}+1-2sqrt{3}-2+1$$$$=3$$典型例题解析

302二次根式四则运算

只有同类二次根式才能进行加法运算，即根号内表达式完全相同。合并时，系数相加，根号部分保持不变。同类二次根式合并若二次根式不是同类根式，需先进行化简，化为同类根式后再进行合并。化简后合并在加法运算中，若遇到分母含有二次根式的分数，需进行分母有理化，以便于进行后续的运算。分母有理化加法运算规则与技巧

与加法类似，只有同类二次根式才能进行减法运算。相减时，系数相减，根号部分保持不变。同类二次根式相减化简后相减注意符号问题若二次根式不是同类根式，需先进行化简，化为同类根式后再进行相减。在减法运算中，要特别注意符号问题，尤其是当被减数大于减数时，结果应为负数。030201减法运算规则与技巧

分母有理化在乘法运算中，若遇到分母含有二次根式的分数，同样需进行分母有理化。乘法公式应用二次根式的乘法运算主要依赖于乘法公式，如平方差公式、完全平方公式等。运用这些公式可以简化计算过程。注意运算顺序遵循先乘除后加减的运算顺序，确保计算结果的准确性。乘法运算规则与技巧

03注意运算顺序和符号问题同样需要遵循先乘除后加减的运算顺序，并注意符号问题。01除法转化为乘法二次根式的除法运算可以转化为乘法运算，即除以一个数等于乘以这个数的倒数。02分母有理化在除法运算中，若遇到分母含有二次根式的分数，需进行分母有理化，以便于进行后续的运算。除法运算规则与技巧

303二次根式化简与求值

123将被开方数分解为含有平方因数的数与其他数相乘的形式。识别被开方数的因子$sqrt{a^2}=|a|$，注意考虑$a$的正负情况。利用平方根的性质将同类二次根式进行合并，使化简后的式子更加简洁。合并同类二次根式化简方法概述

对于形如$frac{1}{sqrt{a}pmsqrt{b}}$的分式，通过乘以共轭式$sqrt{a}mpsqrt{b}$来消除分母中的根号。乘以共轭式应用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$来简化分母。利用平方差公式在有理化过程中，要注意因式乘积的符号变化，确保计算正确。注意符号变化分母有理化技巧

对于复杂的二次根式，可以逐步进行化简，先处理容易的部分，再逐步解决较难的部分。逐步化简通过拆分与组合的方式，将复杂的二次根式转化为简单的形式进行化简。拆分与组合利用已知的二次根式公式进行化简，如完全平方公式等。利用已知公式复杂二次根式化简策略

例题1化简$sqrt{8}$解析乘以共轭式$sqrt{3}-sqrt{2}$，得到$frac{1}{sqrt{3}+sqrt{2}}timesfrac{sqrt{3}-sqrt{2}}{sqrt{3}-sqrt{2}}=frac{sqrt{3}-sqrt{2}}{