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函数与坐标系

CONTENTS

函数基本概念与性质

坐标系与图形变换

初等函数图像与性质分析

参数方程与极坐标方程应用

不等式与区域表示方法

总结回顾与拓展延伸

函数基本概念与性质

01

图像

在坐标系中描点连线，形成函数的图像。

表格

列出输入值和对应的输出值，形成一一对应的关系。

解析式

用数学公式表示函数关系，如f(x)=x^2。

函数定义

函数是一种特殊的对应关系，使得每个输入值都对应一个唯一输出值。

表示方法

函数可以通过解析式、表格和图像等方式进行表示。

函数输入值的集合，即自变量x的取值范围。

函数输出值的集合，即因变量y的取值范围。

根据函数解析式或图像，可以确定函数的定义域和值域。

定义域

值域

确定方法

函数在某一区间内单调增加或减少的性质。

函数具有某种规律性的重复性质。

如正弦函数、余弦函数等，具有固定的周期。

通过求导或观察函数图像，可以确定函数的单调性。

单调性

判断方法

周期性

周期函数

满足f(-x)=-f(x)的函数，如正弦函数。

满足f(-x)=f(x)的函数，如余弦函数。

函数图像关于原点对称或关于y轴对称的性质。

如连续性、可导性等，是函数在分析和应用中的重要性质。

奇偶性

奇函数

偶函数

其他性质

坐标系与图形变换

02

在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。

平面内一点与有序实数对一一对应，记作$(x,y)$，其中$x$为横坐标，$y$为纵坐标。

坐标平面被两条坐标轴分成四个象限，每个象限内的点坐标符号各不相同。

定义

坐标

象限

定义

在平面内取一个定点$O$，叫做极点；自极点$O$引一条射线$Ox$，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系。

极坐标

设$M$是平面内一点，极点$O$与点$M$的距离$|OM|$叫做点$M$的极径，记为$rho$；以极轴$Ox$为始边，射线$OM$为终边的角$theta$叫做点$M$的极角。有序数对$(rho,theta)$叫做点$M$的极坐标。

图形在平面内沿某个方向移动一定的距离，叫做图形的平移变换。平移不改变图形的形状和大小。

平移变换

旋转变换

对称变换

图形绕某一点旋转一定的角度，叫做图形的旋转变换。旋转不改变图形的形状和大小。

图形关于某条直线对称，或者关于某点对称，叫做图形的对称变换。对称不改变图形的形状和大小。

03

02

01

图形在平面内沿某个方向放大或缩小一定的比例，叫做图形的伸缩变换。伸缩可能改变图形的形状和大小。

伸缩变换

图形经过多次不同的变换，如平移、旋转、对称、伸缩等，叫做图形的复合变换。复合变换可能改变图形的形状和大小。

复合变换

初等函数图像与性质分析

03

一次函数的图像是一条直线，其斜率和截距决定了直线的方向和位置。

二次函数的图像是一条抛物线，其开口方向、对称轴和顶点位置取决于二次项的系数、一次项的系数和常数项。

二次函数图像

一次函数图像

幂函数的图像因指数不同而具有不同的形状，如y=x^2（抛物线）、y=x^3（曲线）等。

幂函数图像

指数函数的图像是一条从左下方向右上方延伸的曲线，其增长速度逐渐加快。

指数函数图像

对数函数的图像是一条从左上方向右下方延伸的曲线，其增长速度逐渐减慢。

对数函数图像

在第一象限内，正弦函数和余弦函数均为正值；在第二象限内，正弦函数为正值、余弦函数为负值；在第三象限内，正弦函数和余弦函数均为负值；在第四象限内，正弦函数为负值、余弦函数为正值。此外，随着角度的增加，正弦函数和余弦函数的值呈现周期性变化。

正弦函数和余弦函数

正切函数在第一象限和第三象限内为正值，在第二象限和第四象限内为负值；余切函数则相反。同时，正切函数和余切函数在特定角度（如90度、270度等）处存在无穷大或无穷小的值。

正切函数和余切函数

反正弦函数和反余弦函数

反正弦函数和反余弦函数的图像分别是正弦函数和余弦函数图像的反函数图像。它们将角度映射到对应的弧度值上，并限定了定义域和值域的范围。

反正切函数和反余切函数

反正切函数和反余切函数的图像分别是正切函数和余切函数图像的反函数图像。它们同样将角度映射到对应的弧度值上，并具有特定的定义域和值域范围。此外，这些反三角函数在解决一些实际问题时具有广泛的应用价值。

参数方程与极坐标方程应用

04

参数方程定义

通过引入一个或多个参数来表示曲线上点的坐标的方程。

几何意义

参数方程可以描述平面或空间中的曲线，通过参数的变化来反映曲线上点的运动轨迹。

常见参数曲线

如圆、椭圆、螺旋线等，都可以用参数方程来表示。

03

注意事项

在转换过程中要注意定义域和值域的变化，以及可能出现的多种情况。

01

极坐标与直角坐标关系

极坐标$(r,theta)$与直角坐标$(