福建师范大学2024年2月课程考试《近世代数》作业考核试题.docx

《近世代数》期末考试A卷

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一、判断题(共20分。5个小题，每小题4分)

题号12345得分答案×√×√×

1.对称群$,中置换(1345)是侧置换()

2.群中指数为2的子群一定是正规子群()

3.已知H是有限群G的子群，G和|H|分别表示G和H的无素个

数，则|H|定能整除G|()

4.设R是有单位无的交换环，M是R的根大理想，则R/M是城

()

5.环中极大理想的和还是极大理想()

二、计算证明题(共80分，4个小题，每小题20分)

题号1234

得分

1.设乙是整数集，规定aB□a□b3,证明：Z关于所定义的

运算构成交换群

证明：首先该代数适算封闭

其次我们有：(aB)区=(a+b-3)C=(a+b-3)+c-3=a+((b+s-3)-3)=aObB),结合律成立

令d=3,验证ad=a+e-3=a,有单也元

对任意元素a,6—a是其逆元，因为a06-a)-3

因此。Z对该运算作成一个交换群。

2.设G是交换群.证明：G中所有阶数有限的元素的集合H按G的远算

构成G的正规子群

要证明集合H核服G的运算构成G的正规子群，我们需要证明以下三

个条件：

1.H是G的子群：即证明H是G的本空子集，对于G的运算封闭，且

对于边元和单位元封闭。

2.H在G的运算下封闭；即对于任意h1,h2∈H,有hlh2EH。

3.H对于G的运算的共朝封闭：即对于任意h=H和gCG,有

ghgY-1)∈H.

首先，我们证明H是G的子群。

由于H是由G中所有阶数有限的无素组成的集合，所以H是G的一个

本空子集。

接下来，我们证明H对于G的运算封闭。

对于任意h1,h2∈H,它们的阶数分别为nl和n2(nl,n2有限)。

我们知遗，对于任意无素g∈G,其阶数也是有限的，

因此，(1h2yk=hl*h2^=e*e=e,其中k=km(nl,n2)

这说明hlh2的阶数也是有限的，那hih2∈H。

最后，我们证明H对于G的运算的共辄封闭。

对于任意hEH和g∈G,我们有ghg^(-1)EH。

由于g和h的阶数有限，所以护g^(-1)的阶数也是有限的，即ghg^(-1)

∈H,

综上所述，H是G的子群，井且对于G的适算射闭和共规封闭。因此。H搜照G的坛算构成G的正规子群。

3,有一队士兵，三三数余1,五五数余3,七七数余2间；这队士兵有

多少人?试求最小正整数解。(要写出解题过程)

根据题意，设这支队住有n个士兵，则可以列出以下模线性方程组：

m=l(mcd

n=3(mod

m=2(med

3)

9

7)

《近世代数》试卷共1页(第1页)选择题答电写在地择题答题区内，其它各题在答案区城内步签，超出黑色过框区域的答家无效!

我们可以使用中国剩余定理来解决这个问题。

首先，设N=3*5*T=105,热后分别计算ml,m2,m3和它们的地元

t1,12.3

mI-N/5=35,tl=2(mod5),即tl-2

m2-N/5-21,12=1(mod5),即t2-1

m3=N/7=15,t3=4(mod7),即t3=4

势以上数据代入中国制余定理的公式：

xalmlt1+a2m2r2+23m3t3(madN)

得到：

n=1*35*2+3*21*1+2*15*4=23(mod10S)

因此，这支医伍有23个士兵。由于期日要求最小正整数解，我们需要我到

一个解在模意又下等价于23且个于等于105的最小正整数。

在模意义下，23和23+105、23+2*105,23+3*105等等都是等价的，因此

我们只需要不断加上106,直列得到一个小于等于105的最小正整数解。

不难发现，当加上2个105时，得到128,这是一个大于105的最小王整

数解。因此。这史队伍有23+2*105-233个士兵时，满足题目的所有条件，

4.求出核n剩余类环乙。的所有理型和所有极大理想

在模n剩余类环Z10中，我们可以列出所有的理想和极大理想。

首先，Z10的所有理想可以表不为kZ10,其中k是Z10中的元亲。出于Z10

是一个循环环，其中的元素可以表示为0,1,2。3,4,5,