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新高考新题型第19题新定义压轴题汇编
01集合新定义目录
02函数与导数新定义
03立体几何新定义
04三角函数新定义
05平面向量与解三角形新定义
06数列新定义
07圆锥曲线新定义
08概率与统计新定义
09高等数学背景下新定义
01集合新定义
1(2024·北京·高三北师大实验中学校考阶段练习)已知
N元正整数集合A=a,a,⋯,aN≥2满
12N
aj
足:aa⋯a,且对任意i,j∈1,2,⋯,N,ij,都有∈Z
12N
a-aji
(1)若a=2,写出所有满足条件的集合A;
1
(2)若a恰有N个正约数,求证:a=a+1;
NNN-1
ajj
(3)求证:对任意的i,j∈1,2,⋯,N-1,ij,都有≤.
aii
【解析】(1)2,3或2,4或2,3,4.
根据题意可知,若a=3,则a2=3∈Z,满足题意;
2
a-2
2
1
若a=4,则a2=2∈Z,满足题意;
2
a-2
2
显然易知当a≥5时,a2∉Z,所以A=2,3或A=2,4;
2
a-2
2
当a=3,a=4时,又满足a3=4∈Z,所以可得A=2,3,4满足题意;
23
a-a
32
因此可得所有满足条件的集合A为2,3或2,4或2,3,4.
(2)证明:由题分别令i=N,j=1,2,⋅⋅⋅,N-1,
aNaNaN
可知,,⋯,∈Z,
a-aa-aa-a
N1N
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