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华南农业大学期末考试试卷（A卷）
2019~2020学年第1学期考试科目：高等数学AⅠ
考试类型：（闭卷）考试考试时间：120分钟
学号姓名年级专业
题号
一（15分）
二（15分）
三（49分）
四（21分）
总分
得分
评阅人
得分
一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．若，则。
2．设函数由方程确定，则微分。
3．函数，在区间上满足拉格朗日中值定理的点。
4．已知的一个原函数是，则=。
5．。
得分
二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．若当时，和都是无穷小，则当时，下列表达式中哪一个不一定是无穷小（）．
．；．和；
．；．。
2．设，则（）.
A．；B．；C．；D．。
3．函数在定义域内（）.
A.单调增加；B.单调减少；C.图形是凸的；D.图形是凹的。
4．在区间内，如果，则必有（）．
A． ； B．，其中为任意常数；
C．； D．。
5．下列广义积分收敛的是（）.
A.；B.；C.；D.。
得分
三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）
1.求极限。
2.设函数由参数方程确定，求。
3.计算双曲线在点处的曲率。
4．求不定积分求。
5.计算。
6．设求。
7.设函数在点处连续，求和的值。
得分
1.5CM四、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
1.5CM
1．证明不等式,其中。
2.求由所围成的图形，绕轴及轴旋转所得的两个不同的旋转体的体积。
3.设在上连续，证明中至少存在一点，使。
华南农业大学期末考试试卷（A卷）参考解答
2019~2020学年第1学期考试科目：高等数学AⅠ
一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．； 2．； 3．1； 4．； 5．1。
二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．D；2．C；3．A；4．B；5．D。
1.5CM三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）
1.5CM
1.求极限。
解:．．．．．．．．．．3分
．．．．．．．．．．6分
．．．．．．．．．．．7分
2.设函数由参数方程确定，求。
解:由第一个方程可得，．．．．．．．．．．．2分
将第二个方程两边同时对求导，将看作的函数，得
，得，．．．．．．．．．．．4分
于是．．．．．．．．．．．．6分
当时，由参数方程可得，代入上式，得．．．．．．．．．．．．7分
3.计算双曲线在点处的曲率。
解：由，得,．．．．．．．．．．．．2分
因此，,．．．．．．．．．．．．3分
代入曲率公式，得曲线在点处的曲率为。．．．．．．．．．7分
4．求不定积分求。
解:．．．．．．．．．2分
．．．．．．．．．3分
．．．．．．．．．6分
.．．．．．．．．．7分
5.计算。
解:设即．．．．．．．．．．2分
当时；当时，，于是．．．．．．．．．3分
．．．．．．．．．5分
．．．．．．．．．6分
.．．．．．．．．．7分
6．设求。
解：设，则
．．．．．．．．．．2分
．．．．．．．．．．4分
．．．．．．．．．．6分
．．．．．．．．．．7分
7.设函数在点处连续，求和的值。
解：因为．．．．．．．．．．3分
，．．．．．．．．．．6分
依题意有为任意实数。．．．．．．．．．．7分
1.5CM四、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
1.5CM
1．证明不等式,其中。
证明：设，则从而当时，严格单调增加.又在处连续，且，所以当时，，即.．．．．．．．．．．4分
设.求导得，所以严格单调增加，又，所以，当时，，即.综合上述结果可得，当时，有
。．．．．．．．．．．7分
2.求由所围成的图形，绕轴及轴旋转所得的两个不同的旋转体的体积。
解：如图，绕轴旋转所得的旋转体的体积为
．．．．．．．．．．1分
．．．．．．．．．．
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