函数的定义与性质.pptx

汇报人:XX2024-02-04函数的定义与性质

目录CONTENCT函数的基本概念函数的性质函数的运算函数的极限与连续函数的导数与微分函数的积分

01函数的基本概念

传统定义近代定义函数的定义函数是数学中的一种关系，它使一个集合里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）集合里的唯一元素。设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称f：A--B为从集合A到集合B的一个函数。

解析法列表法图象法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。列出部分自变量与函数的对应关系。以图象的形式表示函数与自变量之间的关系。函数的表示方法

函数自变量的取值范围，通常表示为D。定义域函数因变量的取值范围，通常表示为f(D)或R(f)。值域函数的值域与定义域

80%80%100%函数的图像在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，对应的函数值为纵坐标，描点得到的所有点的集合就是该函数的图象。直观地显示函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性等。通过描点法、图象变换法等绘制函数图像。函数图像的概念函数图像的作用函数图像的绘制

02函数的性质

单调递增单调递减单调区间函数的单调性对于函数y=f(x)，如果在其定义域内任取两个数x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)≥f(x2)，则称该函数在定义域内单调递减。如果函数y=f(x)在某个区间I上单调递增或单调递减，则称I为该函数的一个单调区间。对于函数y=f(x)，如果在其定义域内任取两个数x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)≤f(x2)，则称该函数在定义域内单调递增。

对于函数y=f(x)，如果对于定义域内的任意x，都有f(-x)=-f(x)，则称该函数为奇函数。奇函数偶函数非奇非偶函数对于函数y=f(x)，如果对于定义域内的任意x，都有f(-x)=f(x)，则称该函数为偶函数。如果函数y=f(x)既不是奇函数也不是偶函数，则称其为非奇非偶函数。030201函数的奇偶性

周期函数对于函数y=f(x)，如果存在一个正数T，使得对于定义域内的任意x，都有f(x+T)=f(x)，则称该函数为周期函数，T为其一个周期。最小正周期对于周期函数y=f(x)，其所有周期中的最小正数称为该函数的最小正周期。函数的周期性

上界和下界如果函数y=f(x)在其定义域内被一个数M所界定，即对于定义域内的任意x，都有f(x)≤M（或f(x)≥-M），则称M为该函数的一个上界（或下界）。有界函数对于函数y=f(x)，如果在其定义域内存在一个正数M，使得对于定义域内的任意x，都有|f(x)|≤M，则称该函数为有界函数。无界函数如果函数y=f(x)不是有界函数，则称其为无界函数。函数的有界性

03函数的运算

加法运算减法运算乘法运算除法运算函数的四则运算对于同一自变量x，两个函数y=f(x)和y=g(x)的和为y=f(x)+g(x)。对于同一自变量x，两个函数y=f(x)和y=g(x)的差为y=f(x)-g(x)。对于同一自变量x，两个函数y=f(x)和y=g(x)的积为y=f(x)×g(x)。对于同一自变量x（g(x)≠0），两个函数y=f(x)和y=g(x)的商为y=f(x)/g(x)。

函数的复合运算复合函数的定义设y=f(u)的定义域为D，值域为M，函数u=g(x)的定义域为D?，值域为M?，如果M?∩D≠?，那么对于M?∩D内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数，记为：y=f[g(x)]。复合函数的运算顺序由内向外，先计算内层函数g(x)的值，再将其代入外层函数f(u)中计算得到y的值。

反函数的定义设函数y=f(x)的定义域是D，值域是f(D)。如果对于值域f(D)中的每一个y，在D中有且只有一个x使得g(y)=x，则按此对应法则得到了一个定义在f(D)上的函数，并把这个函数称为函数y=f(x)的反函数，记为x=f?1(y)。反函数的性质一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性。函数的反函数运算移变换对称变换伸缩变换翻折变换函数的初等变换通过改变函数y=f(x)的解析式中的某些项的系数，使函数的图像在坐标轴方向上压缩或拉伸，得到新的函数图像。以坐标轴或某直线为对称轴，对函数y=f(x)的图像进行对称变换，得到新的函数图像。将函数y=f(x)的图像沿x轴或y轴方向平移，得到新的函数图像。将函数y=f(x)的图像以某条直线为对称轴进行翻折，得到新的函数图像。

04函数的极限与连续

03极限的性质与运算法则包括极限的唯一性、有界性、保号性等，以及极限的四则运算法则和复合函数的极限运算法则。01自变量趋于