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一元二次函数知识点高一

一、定义与图像特征

一元二次函数是指形式为y=ax2+bx+c的函数，其中a、b、c是常数，且a≠0。一元二次函数的图像通常呈现抛物线的形状，开口方向由a的正负值决定。

1.当a0时，抛物线开口向上；

2.当a0时，抛物线开口向下；

3.抛物线的顶点坐标为（h，k），其中h为对称轴的横坐标，k为抛物线的最小值或最大值。

二、零点与根的求解

一元二次函数的零点又称为根。根的求解可通过下列方法进行：

1.因式分解：将一元二次函数表示为两个一次因子的乘积，然后令每个因子等于零，解方程得到根；

2.完全平方式：如果一元二次函数可以表示为(x±a)2形式，则可通过解方程(x±a)2=0来求得根；

3.利用一元二次函数求根公式：一元二次函数的根可通过求解一元二次方程ax2+bx+c=0来得到，其中，x=(-b±√(b2-4ac))/(2a)。

三、最值与对称性

1.最值：对于开口向上的抛物线，最小值等于抛物线的顶点纵坐标k；对于开口向下的抛物线，最大值等于抛物线的顶点纵坐标k。

2.对称性：一元二次函数关于对称轴x=h对称。因此，若点(x,y)在抛物线上，则点(2h-x,y)也在抛物线上。

四、函数的变化规律

一元二次函数随着自变量的变化呈现不同的特点：

1.当a0时，抛物线开口向上，随着x的增大，函数值上升；随着x的减小，函数值下降。函数的增减性为先减后增。

2.当a0时，抛物线开口向下，随着x的增大，函数值下降；随着x的减小，函数值上升。函数的增减性为先增后减。

3.抛物线与y轴的交点称为纵截距，当x=0时，纵截距为c。

五、二次函数的平移与伸缩

一元二次函数可通过平移和伸缩来改变其图像位置和形状：

1.平移：将函数图像沿横轴或纵轴方向移动，可通过函数式中的加减操作实现。如y=x2+3中，加3使整体上移。

2.伸缩：可通过改变函数式中的a、b的值来实现。当|a|1时，函数图像纵向压缩，当0|a|1时，函数图像纵向拉伸。

六、实际问题的建模与应用

一元二次函数在物理、经济等领域中广泛应用。

1.抛体运动模型：抛物线的轨迹可以用一元二次函数来描述。例如，用抛物线模型描述抛出的物体在空中飞行的轨迹。

2.利润最大化问题：在经济学中，通过建立一元二次函数模型，可以确定某产品的售价与销量之间的关系，以求得利润最大化的策略。

七、综合练习题

1.求一元二次函数y=x2-4x+3的零点和顶点坐标。

2.若一元二次函数y=ax2+bx+c的图像通过点(1,3)和点(2,8)，求a、b、c的值。

3.已知一元二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为(2,-1)，且过点(1,2)，求a、b、c的值。

以上为一元二次函数的知识点概述，理解并掌握这些内容有助于在高一数学学习中应用和解决相关问题。通过课堂练习和实际应用，可以进一步巩固和拓展对一元二次函数的理解与运用能力。