最优控制模型.ppt

6.5.1不可再生资源的垄断开采(3)相轨线沿着最优路径，影子价格ψ以与市场利率r的速度增长。轨线的斜率为：?ψ/?s=ψ??/?=-ψr/q(ψ)0且有：?2ψ/?s2=-rψ??/qψψ??=-r/qψ0所以，最优轨线凸向原点。第63页，课件共108页，创作于2023年2月6.5.1不可再生资源的垄断开采(3)相轨线为了确定最优路径终点的位置，由横截条件s(T*)=0可知，最优路径的终点将会到达纵轴，且在终结时间开采资源的边际利润等于平均利润。随着开采量q减少到0，该条件得到满足。因此，终止时间将在q=0时到达，在q=0时，有p(T*)=p*。确定了最优路径的终点和形状以后，用倒推的方式就可确定出最优路径的出发点，即在0到T*的时间内，ψ以r的增长率上升，由初值上升到ψ(T*)=p*，而s则由s0减少到0。第64页，课件共108页，创作于2023年2月6.5.1不可再生资源的垄断开采(4)比较动态分析概念：比较动态分析就是分析外生变量的变化如何影响均衡解以及最优路径。分析内容：①资源存量变化的影响；②窒息价格(如：替代品出现)变化的影响；③利率变化的影响：利率上升，将会使轨线斜率?ψ/?s=ψ??/?=-ψr/q(ψ)0的数值变大，即轨线更陡，资源的影子价格的上升速度ψ??/ψ=r更快，资源的开采速度更快，开采期限更短。对垄断开采的批评：垄断企业使用的折现率比社会最优折现率高，加速了资源的枯竭。第65页，课件共108页，创作于2023年2月6.5.2社会计划者最优开采1、资源消费的社会福利函数记单位资源消费的社会价值为p，开采的边际成本为c，则社会净福利函数为：W(q)=0?q[p(σ)-c(σ)]dσ2、社会计划者的最优化问题Max0?Te-rtW(q)dts.t.:?=-q，s(0)=s0，s(T)?0其中s为状态变量，q为控制变量。第66页，课件共108页，创作于2023年2月6.5.2社会计划者最优开采3、社会计划者最优化问题的求解社会最优开采的当期值汉密尔顿函数为：H=W(q)-ψq一阶条件为：Hq=Wq-ψ=0?p(q)-c(q)-ψ=0ψ??=rψ-Hs?ψ??=rψ将Hq=0对时间求导，得：ψ??=[p(q)-c(q)]q??令二ψ??相等，得：q??=r(p-c)/(p-c)由ψ??=rψ得赫特林规则的社会计划者版本为：ψ??/ψ=r=(p-c)/(p-c)即影子价格与以社会净边际福利同样的速度上升。第67页，课件共108页，创作于2023年2月6.5.2社会计划者最优开采4、横截条件由于对资源有非负性约束s(T)?0，所以相应的横截条件为：ψ(T)s(T)=0由于ψ=p(q)-c(q)0，所以有：s(T)=0如果终结时间是最优化问题的一部分，则还有横截条件为：H(T)=W[q(T)]-ψ(T)q(T)=0即有：ψ(T*)=W[q(T*)]/q(T*)由一阶条件ψ=Wq，可将此横截条件写为：单位资源的平均福利W(q)/q=Wq单位资源的边际福利第68页，课件共108页，创作于2023年2月6.5.2社会计划者最优开采5、(s,q)相位图状态-控制变量微分方程组?=-qq??=r(p-c)/(p-c)稳定线?=0：?q=0(横轴)q??=0:?p(qe)=c(qe)?qe=常数相箭头??/?q=-10?q??/?q=r[(p-c)2-(p-c)(p-c)]/(p-c)2=r0(假设p-c=0)轨线路径qqeq??=0s0s第69页，课件共108页，创作于2023年2月6.5.2社会计划者最优开采6、(s,ψ)相位图状态-共态变量微分方程组?=-q