线性代数行列式的概念和性质.ppt

第1页，课件共32页，创作于2023年2月§3.1行列式的概念和性质§3.2行列式值的计算§3.3若干应用(逆阵公式、克拉默法则等)本章的主要内容重点内容行列式的计算第2页，课件共32页，创作于2023年2月1、概念2、性质§3.1行列式的概念和性质第3页，课件共32页，创作于2023年2月一、概念对任一n阶矩阵用式子或用大写字母D表示,常把上述表达式称为A的行列式(determinant),记作detA表示一个与A相联系的数，而把相联系的那个数称为行列式的值.今后，称上述具有n行n列的表达式为n阶行列式.第4页，课件共32页，创作于2023年2月定义把删去第i行及第j列后所得的(n–1)阶子矩阵称为对应于元aij的余子矩阵，并以Sij记之.对一n阶矩阵对n=2,3,…,用以下公式递归地定义n阶行列式之值：def定义一阶矩阵[a11]的行列式之值定义为数a11，即det[a11]defa11第5页，课件共32页，创作于2023年2月例设def，计算该行列式的值解因有S11=[a22],S12=[a21],故—+第6页，课件共32页，创作于2023年2月例设,计算detA的值.解def第7页，课件共32页，创作于2023年2月若写出计算3阶行列式值的公式为第8页，课件共32页，创作于2023年2月以下表的形式记3阶行列式值的计算公式说明三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.结论n阶行列式的值是n！个不同项的代数和，其中的每一项都是处于行列式不同行又不同列的n个元之乘积.第9页，课件共32页，创作于2023年2月定义对n阶行列式detA，称detSij为元aij的余子式,称为元aij的代数余子式.例如第10页，课件共32页，创作于2023年2月根据该定义，可重新表达行列式的值def其中A1k是元a1k对A或detA的代数余子式.相当于把行列式按第一行展开注行列式的每个元素都分别对应一个余子式和一个代数余子式.第11页，课件共32页，创作于2023年2月性质1行列式与它的转置行列式相等.说明行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.2、性质定理对n阶矩阵A，有行列式的值也可按第1列展开计算.第12页，课件共32页，创作于2023年2月例如推论若行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零.性质2互换行列式的两行(列),行列式值反号.性质3行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k,等于用数k乘此行列式.第13页，课件共32页，创作于2023年2月请问若给n阶行列式的每一个元素都乘以同一数k，等于用乘以此行列式.思考推论对n阶矩阵A，有推论行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零．证第14页，课件共32页，创作于2023年2月推论一行(或列)元素全为0的行列式值等于零．性质4若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和则D等于下列两个行列式之和例如第15页，课件共32页，创作于2023年2月性质5把行列式的某一列(行)元素的k倍加到另一列(行)对应的元素上去，行列式的值不变．例如行列式等值变形法则第16页，课件共32页，创作于2023年2月定理行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即或表达为若行列式按列展开，有定理行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即行列式的展开定理第17页，课件共32页，创作于2023年2月证将行列式按第i行展开,有如果将行列式中的aij换成akj，那么自然有第18页，课件共32页，创作于2023年2月行列式含有两个相同的行,值为0.综上所述,得公式第19页，课件共32页，创作于2023年2月注在计算数字行列式时,直接应用行列式展开公式并不一定简化计算,因为把一个n阶行列式换成n个(n－1)阶行列式的计算并不减少计算量,只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时,应用展开定理才有意义，但展开定理在理论上是重要的．利用行列式按行按列展开定理,并结合行列式性质,可简化行列式计算：方法计算行列式时,