函数的极值与最值问题.pptx

函数的极值与最值问题汇报人：XX2024-02-02XXREPORTING

目录函数极值与最值概述函数单调性与极值关系一元函数极值求解方法多元函数极值问题探讨最优化方法在最值问题中应用总结与展望

PART01函数极值与最值概述REPORTINGXX

函数在某一点的邻域内，若该点的函数值比邻域内其他各点的函数值都大（或小），则称该函数在该点取得极大值（或极小值）。函数在某个区间上的最大值和最小值。若函数在闭区间上连续，则必存在最大值和最小值。极值与最值定义最值极值

函数的极值点可能是该函数在某个区间上的最大值点或最小值点。极值可能是最值函数在某个区间上的最大值点或最小值点不一定是极值点，例如端点。最值不一定是极值极值与最值关系

研究意义研究函数的极值与最值问题，有助于了解函数的变化规律，掌握函数的性质，为解决实际问题提供数学依据。应用领域函数的极值与最值问题在优化问题、经济学、物理学、工程学等领域具有广泛的应用，如求解成本最小、收益最大、路程最短等实际问题。研究意义及应用领域

PART02函数单调性与极值关系REPORTINGXX

定义法利用函数单调性的定义，比较函数在某区间内任意两点间的函数值大小关系，从而确定函数的单调性。导数法通过求函数的导数，判断导数的正负来确定函数的单调性。若导数大于0，则函数在该区间内单调递增；若导数小于0，则函数在该区间内单调递减。图象法通过观察函数的图象，可以直观地判断函数在某个区间内的单调性。单调性判断方法

单调区间的端点可能是极值点在函数的单调递增区间和单调递减区间的交界处，往往存在函数的极值点。这些极值点可能是极大值点或极小值点。极值点处导数等于0对于可导函数，其极值点处的一阶导数等于0。但需要注意的是，并非所有一阶导数为0的点都是极值点，还需要结合函数的单调性进行进一步判断。极值点的性质极大值点和极小值点统称为极值点。在极值点处，函数值发生了由增到减或由减到增的变化。单调区间与极值点关系

例题1求函数$f(x)=x^3-3x^2+2x$的单调区间和极值点。例题2已知函数$g(x)$在区间$[a,b]$上单调递增，且$g(a)0,g(b)0$，证明在$(a,b)$内存在唯一的零点。解析根据零点存在性定理，由于$g(x)$在$[a,b]$上连续且$g(a)cdotg(b)0$，则存在$cin(a,b)$使得$g(c)=0$。又因为$g(x)$在$[a,b]$上单调递增，所以其零点唯一。解析首先求导数$f(x)=3x^2-6x+2$，然后令$f(x)=0$解得$x_1,x_2$（假设存在两个解），接着分析$f(x)$在$x_1,x_2$左右两侧的符号变化，从而确定$f(x)$的单调区间和极值点。典型例题解析

PART03一元函数极值求解方法REPORTINGXX

一阶导数等于零的点首先找到函数一阶导数等于零的点，这些点可能是极值点。判断单调性通过一阶导数的正负判断函数在各区间的单调性，从而确定极值点的性质。不可导点考虑函数在定义域内的不可导点，这些点也可能是极值点。导数法求极值

在极值点处，如果二阶导数大于零，则函数在该点取得极小值；如果二阶导数小于零，则函数在该点取得极大值。二阶导数符号若函数在极值点处二阶导数不存在，则需要通过其他方法判断极值点的性质。二阶导数不存在通过泰勒公式展开，可以更精确地判断函数在极值点附近的性质。泰勒公式展开二阶导数判断法

03端点比较法直接比较函数在闭区间端点处的函数值，可以确定函数的最大值和最小值是否出现在端点处。01介值定理利用介值定理，可以证明闭区间上连续函数一定存在最大值和最小值。02零点定理通过零点定理，可以判断函数在闭区间上是否存在变号零点，从而确定极值点的存在性。闭区间上连续函数性质应用

PART04多元函数极值问题探讨REPORTINGXX

二阶偏导数判定法通过计算多元函数的二阶偏导数，可以判断极值点的性质（极大值、极小值或鞍点）。Hesse矩阵判定法对于二元函数，可以通过构造Hesse矩阵并判断其正定性来确定极值点的性质。一阶偏导数等于零在极值点处，多元函数的一阶偏导数必须等于零，这是取得极值的必要条件。多元函数极值条件

123通过引入Lagrange乘数，将约束条件下的多元函数极值问题转化为无约束的极值问题，从而简化求解过程。Lagrange乘数法对于不等式约束下的多元函数极值问题，Kuhn-Tucker条件给出了取得极值的必要条件。Kuhn-Tucker条件通过构造罚函数，将约束条件加入到目标函数中，从而将约束优化问题转化为无约束优化问题。罚函数法约束条件下多元函数极值问题

工程设计中的参数优化在工程设计中，经常需要优化多个参数以达到最佳性能，这可以通过求解多元函数极值问题