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十字相乘法进行因式分解

二次三项式

多项式ax2?bx?c，称为字母x的二次三项式，其中ax2称为二次项，bx为一次项，c

为常数项．例如，x2?2x?3和x2?5x?6都是关于x的二次三项式．

在多项式x2?6xy?8y2中，如果把y看作常数，就是关于x的二次三项式；如果把x

看作常数，就是关于y的二次三项式．

在多项式2a2b2?7ab?3中，把ab看作一个整体，即2(ab)2?7(ab)?3，就是关于ab

的二次三项式．同样，多项式(x?y)2?7(x?y)?12，把x＋y看作一个整体，就是关于x

＋y的二次三项式．

十字相乘法的依据和具体内容

利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax＋b)(cx＋d)竖式乘法法则．它的一般规律是：

对于二次项系数为1的二次三项式x2?px?q，如果能把常数项q分解成两个因数a，

b的积，并且a＋b为一次项系数p，那么它就可以运用公式

x2?(a?b)x?ab?(x?a)(x?b)

分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．

对于二次项系数不是1的二次三项式ax2?bx?c(a，b，c都是整数且a≠0)来说，如

果存在四个整数a,a

1 2

,c,c

1 2

，使a?a

1 2

?a，c?c

1 2

?c，且ac

12

ac

21

?b，

因式分解一般要遵循的步骤

多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，

分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．

【典型热点考题】

例1 把下列各式分解因式：

（1）x2?2x?15；（2）x2?5xy?6y2．解：

例2 把下列各式分解因式：

（1）2x2?5x?3；（2）3x2?8x?3．解：

点拨：二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性．

例3把下列各式分解因式：

（1）x4?10x2?9； （2）7(x?y)3?5(x?y)2?2(x?y)；

（3）(a2?8a)2?22(a2?8a)?120．

十字相乘法专项练习题

(1)a2－7a+6； (2)8x2+6x－35；

(3)18x2－21x+5； (4)20－9y－20y2；

(5)2x2+3x+1；

(7)6x2－13x+6；

(9)6x2－11x+3；

(11)10x2－21x+2；

(13)4n2+4n－15；

(15)5x2－8x－13；

(17)15x2+x－2；

(6)2y2+y－6；

(8)3a2－7a－6；

(10)4m2+8m+3；

(12)8m2－22m+15；

(14)6a2+a－35；

(16)4x2+15x+9；

(18)6y2+19y+10；

(19)2(a+b)2+(a+b)(a－b)－6(a－b)2； (20)7(x－1)2+4(x－1)－20；

把下列各式分解因式：

（1）x4?7x2?6； （2）x4?5x2?36；

（3）4x4?65x2y2?16y4； （4）a6?7a3b3?8b6；

（5）6a4?5a3?4a2； （6）4a6?37a4b2?9a2b4．

15．把下列各式分解因式：

（1）(x2?3)2?4x2； （2）x2(x?2)2?9； (3）(3x2?2x?1)2?(2x2?3x?3)2；

（4）(x2?x)2?17(x2?x)?60； （5）(x2?2x)2?7(x2?2x)?8；

（6）(2a?b)2?14(2a?b)?48．

(1)2x2?15x?7 (2)3a2?8a?4 (3)5