数学中的概率与随机变量.pptx

数学中的概率与随机变量汇报人：XX2024-01-27XXREPORTING

目录概率论基本概念随机变量及其分布多维随机变量及其分布随机变量数字特征大数定律与中心极限定理概率论在实际问题中应用举例

PART01概率论基本概念REPORTINGXX

概率是描述随机事件发生的可能性大小的数值，通常用一个介于0和1之间的实数来表示。概率定义概率具有非负性、规范性（全概率等于1）、可加性（互斥事件的概率和等于各事件概率之和）等基本性质。概率性质概率定义及性质

条件概率在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。条件概率的计算公式为P(A|B)=P(AB)/P(B)，其中P(AB)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。独立性如果两个事件的发生互不影响，则称这两个事件是相互独立的。对于相互独立的事件A和B，有P(AB)=P(A)P(B)。条件概率与独立性

全概率公式如果事件A可以分解为若干个互斥事件的并，且这些互斥事件的概率之和为1，则事件A发生的概率等于这些互斥事件分别发生的概率与对应条件下事件A发生的条件概率的乘积之和。全概率公式常用于解决复杂事件的概率计算问题。贝叶斯定理贝叶斯定理是关于条件概率的重要定理，它提供了在已知某些相关条件下更新事件概率的方法。贝叶斯定理在统计学、机器学习等领域有着广泛的应用，如分类问题中的朴素贝叶斯分类器就是基于贝叶斯定理构建的。全概率公式与贝叶斯定理

PART02随机变量及其分布REPORTINGXX

随机变量是定义在样本空间上的实值函数，它将样本空间中的每个样本点映射到一个实数。根据随机变量取值的连续性，可分为离散型随机变量和连续型随机变量。随机变量定义及分类分类定义

离散型随机变量分布律分布律定义离散型随机变量的分布律描述了随机变量取各个值的概率。常见离散型随机变量分布二项分布、泊松分布、几何分布等。性质离散型随机变量的概率分布具有非负性和归一性。

03性质连续型随机变量的概率密度函数具有非负性和归一性，且其任意一点的函数值等于随机变量在该点取值的概率密度。01概率密度函数定义连续型随机变量的概率密度函数是一个非负可积函数，其在某区间内的积分值等于随机变量落在该区间内的概率。02常见连续型随机变量分布正态分布、均匀分布、指数分布等。连续型随机变量概率密度函数

PART03多维随机变量及其分布REPORTINGXX

描述两个随机变量同时取值的概率分布规律，通常用一个二维表格或曲面图表示。联合分布律对于连续型二维随机变量，其联合分布律用概率密度函数表示，该函数在平面区域上的积分值等于该区域内事件发生的概率。概率密度函数联合分布律/概率密度函数具有非负性和规范性，即函数值非负且在整个定义域上的积分为1。性质二维随机变量联合分布律/概率密度函数

概率密度函数对于连续型随机变量，其边缘分布律用概率密度函数表示，该函数在某一区间上的积分值等于该区间内事件发生的概率。边缘分布律由联合分布律推导出的描述一个随机变量取值的概率分布规律，即固定另一个随机变量的取值后对联合分布律进行求和或积分。性质边缘分布律/概率密度函数同样具有非负性和规范性。边缘分布律/概率密度函数

条件分布律01描述在已知一个随机变量取值的条件下，另一个随机变量的取值概率分布规律。即在联合分布律中固定一个随机变量的取值后，对另一个随机变量的取值进行归一化处理。条件概率密度函数02对于连续型随机变量，其条件分布律用条件概率密度函数表示，该函数在某一区间上的积分值等于在已知条件下该区间内事件发生的概率。性质03条件分布律/条件概率密度函数具有非负性和规范性，且随着已知条件的改变而发生变化。条件分布律/条件概率密度函数

PART04随机变量数字特征REPORTINGXX

描述随机变量取值的“平均水平”，是概率加权下的平均值。对于离散型随机变量，数学期望是所有可能取值与其对应概率的乘积之和；对于连续型随机变量，数学期望则是概率密度函数与自变量乘积的积分。数学期望衡量随机变量取值与其数学期望的偏离程度，即波动性或分散程度。方差越大，说明随机变量取值的波动越大，越不稳定；方差越小，则说明取值相对集中，波动性小。方差数学期望与方差

衡量两个随机变量变化趋势的相似程度。若两个随机变量同时向相反方向变化（即一个增大另一个减小），则协方差为负值；若两个随机变量同时向同一方向变化（即同时增大或同时减小），则协方差为正值；若协方差接近于零，则说明两个随机变量之间可能不存在线性关系。协方差在协方差的基础上，通过除以两个随机变量的标准差进行标准化处理，得到的一个介于-1和1之间的数值。相关系数可以更加直观地反映两个随机变量之间的线性相关程度。当相关系数接近1时，表示两随机变量呈强正相关；接近-1时，表示呈强负相关；接近0时