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行列式的计算方法总结:
利用行列式性质把行列式化为上、下三角形行列式.
行列式按一行(一列)展开,或按多行(多列)展开(Laplace定理).几个特别的行列式:
A 0?
C B
A C 0 A D
2?AB, ? 2
0 B D
A
?(?1)mnAB,其中A,B分别是m,n阶的方阵.
B B 0
1 1
b
b
? ?
a b
例子: D ? ,
2n b a
? ?
a
a
2n
a b
利用Laplace定理,按第n,n?1行展开,除2级子式b a
外其余由第n,n?1行所得的2级子式均为零.
故D ?
2n
b
(?1)n?n?1?n?n?1D
a 2n?2
?(a2?b2)D
2n?2
,此为递推公式,应用可得
D ?(a2?b2)D ?(a2?b2)2D ???(a2?b2)n.
2n 2n?2 2n?4
箭头形行列式或者可以化为箭头形的行列式.
x a a ? a x a
1 2 3 n 1 2
a ? a
3 n
a x
1 2
例:a a
1 2
a ? a a?x
3 n 1 1
x ? a ?a?x
3 n 1 1
x ?a
2 2
0
0 ? 0
x ?a ??0
3 3
-----(第一行的?1倍加到其余各行)
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
a a a ? x
xx?
x
x?a
1
1
a?x 0 0
1 1
ax
a
x
a
n
n
?112
?11
21 2
30 3
?
n
0
?1
0
1
?
0
?
?
?
?
?
?1
0
0
?
1
? x ?a
n n
??n (x
i
i?1
?a)?
i
x ?a
x ?a
--------(每一列提出相应的公因子x
i
a)
i
ax ?ann0ni23 ?1 11x
a
x ?a
n
n
0
n
i
2
3 ?
1 1
1
x
x?a
ii0?0?1?
i
i
0
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0
?
1
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?
?
0
?
0
0
0
?
1
i?1
?a)?
i?2
x?a
i i
x ?a
21 2
x ?a
30 3 ?
0--------(将第
0
2,3,?,n
列加到第一列)
i?(1??n a
i
x
)??n
(x?a).
i i
a
i?1 i i
i?1
其它的例子：特点是除了主对角线,其余位置上的元素各行或各列都相同.
a?x a
1
a ? a x?a a
1 2
a ? a
3 n
a a?x
2
a ? a a
1
x?a
2
a ? a
3 n
a a a?x
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
a
a
a
?
a?x
a
a
a
?
? a , a
1
a x?a
2 3
? a .
n
n 1 2 3
?
x?a
n
逐行逐列相减法.行列式特点是每相邻两行(列)之间有许多元素相同.用逐行(列)相减可以化出零.
升阶法(或加边法,添加一行一列,利于计算,但同时保持行列式不变).
1000
1
0
0
0
?
0
1?a ?b
a ?b
?
a ?b
0
1
b
b
?
b
a ?b
1 2
1?a ?b ?
1 n
a0a2?0?
a
0
a
2
?
0
?
a
0
1
1?a ?b
2
a ?b
n
? a ?b
例子: 2?1
2 2 2 n ? 1
? ? ?
1 1
a ?b
2 1
1 2
1?a ?b ?
2 2
n
a ?b
n
a ?b
n 1
a ?b
n 2
? 1?a ?b
n n
? ? ? ?
1 0 1
1 ? 1
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?nn1n2
?
n
n
1
n
2
n
n
n
1
1
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1
a ?b
a ?b
? 1?a ?b
0 1 ?b
1
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2 n ?
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