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不等式的解法与应用

汇报人：XX

2024-02-02

目录

contents

不等式基本概念与性质

一元一次不等式解法

一元二次不等式解法

参数不等式和绝对值不等式解法

不等式组解法与应用

不等式在函数和数列中应用

不等式基本概念与性质

01

表示两个数或代数式之间大小关系的数学式子，用不等号（如＞、＜、≥、≤、≠）连接。

不等式定义

一元不等式（如x＞2）、二元不等式（如x+y＜10）等，可通过数轴、平面区域等方式表示。

不等式表示方法

传递性

加减性质

乘除性质

平方性质

01

02

03

04

若a＞b且b＞c，则a＞c。

同向不等式可加可减，异向不等式可减（需注意符号变化）。

正数乘除不等式不改变方向，负数乘除不等式改变方向。

非负实数范围内，平方不改变不等式方向。

例题一

解一元一次不等式，如2x-1＞3。

解答

移项得2x＞4，再除以2得x＞2。

例题二

解二元一次不等式组，如{x+y＜6，x-y＞2}。

解答

将两个不等式分别表示在平面直角坐标系中，找出满足两个条件的公共区域即可得到解集。

例题三

利用不等式性质证明不等式，如证明√a+√b≤√(2(a+b))（a≥0，b≥0）。

解答

通过平方、展开、合并同类项等步骤，利用不等式基本性质进行推导证明。

一元一次不等式解法

02

01

02

通过移项和化简，可以将不等式转化为标准形式，便于求解。

一元一次不等式的一般形式为：$ax+b0$或$ax+b0$，其中$a$和$b$为常数，且$aneq0$。

去括号

利用分配律展开括号，注意括号前的正负号。

去分母

如果不等式两边有分数，先找公共分母，将不等式两边同乘以公共分母，消去分母。

移项

将含有未知数的项移到不等式的一边，常数项移到另一边。

系数化为1

通过除以未知数的系数，将未知数的系数化为1，得到不等式的解集。

合并同类项

将不等式两边的同类项合并，简化不等式。

区间在数轴上的表示

可以在数轴上标出不等式的解集，直观展示解的范围。

区间表示法

不等式的解集可以用区间来表示，如$(a,b)$表示$axb$的解集。

开区间与闭区间

开区间表示不包含端点，闭区间表示包含端点，如$[a,b]$表示$aleqxleqb$的解集。

无解与全体实数解

当不等式无解时，用空集$varnothing$表示；当不等式对全体实数都成立时，用全体实数集$R$表示。

输入

标题

解答

例题1

解不等式$2x-35$。

分别解两个不等式得到$xfrac{2}{3}$和$xleq2$，取交集得到不等式组的解集为$left(frac{2}{3},2right]$。

解不等式组$left{begin{array}{l}3x-202x+1leq5end{array}right.$。

首先移项得到$2x8$，然后除以2得到$x4$，所以不等式的解集为$(4,+infty)$。

解答

例题2

一元二次不等式解法

03

一元二次不等式的一般形式为：$ax^2+bx+c0$或$ax^2+bx+c0$，其中$aneq0$。

通过因式分解、配方等方法，将一元二次不等式化为标准形式，便于求解。

判别式Δ的公式为：$Delta=b^2-4ac$。

当Δ0时，一元二次方程有两个不相等的实根，对应的一元二次不等式解集为两个区间的并集。

当Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实根，对应的一元二次不等式解集为一个区间。

当Δ0时，一元二次方程无实根，对应的一元二次不等式解集为空集或全体实数集。

01

02

03

04

01

02

04

确定一元二次不等式的标准形式。

计算判别式Δ的值，判断一元二次方程的根的情况。

根据根的情况，结合一元二次函数的图像，确定一元二次不等式的解集。

将解集表示为区间形式，注意区间的开闭情况。

03

例题1

例题2

分析

解答

解答

分析

解不等式$x^2-2x-30$。

首先计算判别式Δ的值，得到Δ=4+12=160，说明不等式有两个不相等的实根。

将不等式化为标准形式$(x-3)(x+1)0$，根据一元二次函数的图像，得到解集为$x-1$或$x3$，即解集为$(-infty,-1)cup(3,+infty)$。

解不等式$2x^2-4x+30$。

首先计算判别式Δ的值，得到Δ=16-24=-80，说明不等式无实根。

由于不等式无实根，结合一元二次函数的图像，得到解集为全体实数集，即解集为$(-infty,+infty)$。但需要注意