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函数极值与单调性的性质与应用
汇报人：XX
2024-02-05
2023
XX
REPORTING
函数基本概念回顾
极值概念及其求解方法
单调性概念及其判定方法
极值与单调性关系探讨
典型例题分析与求解技巧
函数极值与单调性在实际应用中举例
目录
CATALOGUE
2023
PART
01
函数基本概念回顾
2023
REPORTING
函数定义
函数是一种特殊的对应关系，它使得每个自变量都对应一个唯一的因变量。
表示方法
函数可以用解析式、表格和图像三种方式表示。其中，解析式是最常用和直观的方法，表格适用于离散型数据，图像则能直观地反映函数的变化趋势。
通过描点法或利用计算机绘图软件可以绘制出函数的图像，从而直观地观察函数的性质。
包括定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等。这些性质可以通过观察函数图像或分析函数解析式得出。
函数性质
函数图像
各类初等函数具有不同的增长速度和变化趋势，例如指数函数增长迅速，对数函数增长缓慢，三角函数具有周期性等。这些特点在实际应用中具有重要意义。
特点分析
包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。这些函数具有各自独特的性质和图像特征。
基本初等函数
由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算得到的函数。初等函数保持了基本初等函数的某些性质，但也可能产生新的性质。
初等函数
PART
02
极值概念及其求解方法
2023
REPORTING
函数在某一邻域内的最大值或最小值称为极值。
极值定义
极值分类
极值点
极大值和极小值，分别对应函数在该点的邻域内的最大值和最小值。
函数取得极值的点称为极值点。
03
02
01
函数在极值点处的一阶导数等于零。
一阶导数等于零
在极值点的左侧和右侧，函数的一阶导数符号发生变化。
导数符号变化
函数在不可导点处也可能取得极值，需结合函数定义域和图像进行判断。
不可导点
二阶导数大于零
若函数在某点的二阶导数大于零，且该点处一阶导数等于零，则该点为极小值点。
二阶导数小于零
若函数在某点的二阶导数小于零，且该点处一阶导数等于零，则该点为极大值点。
二阶导数等于零
若函数在某点的二阶导数等于零，则需要结合更高阶的导数或函数图像进行判断。
多元函数极值定义
多元函数在其定义域内某一点的邻域内取得的最大值或最小值称为极值。
Hesse矩阵
利用Hesse矩阵判断多元函数的极值，若Hesse矩阵在极值点处正定，则该点为极小值点；若负定，则为极大值点；若不定，则无法判断。
一阶偏导数等于零
多元函数在极值点处的一阶偏导数等于零。
约束条件下的极值问题
通过构造拉格朗日函数，将约束条件转化为无约束问题，再利用上述方法求解。
PART
03
单调性概念及其判定方法
2023
REPORTING
单调递减
在区间I上，若对于任意两个数x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)≥f(x2)，则称函数f(x)在区间I上单调递减。
单调递增
在区间I上，若对于任意两个数x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)≤f(x2)，则称函数f(x)在区间I上单调递增。
严格单调
若在上述定义中，将≤或≥改为或，则称函数f(x)在区间I上严格单调递增或递减。
03
导数等于0的点
导数等于0的点可能是函数的极值点，需进一步判断二阶导数或利用函数定义判断。
01
一阶导数大于0
若在某区间I上，函数f(x)的一阶导数f(x)0，则f(x)在该区间内单调递增。
02
一阶导数小于0
若在某区间I上，函数f(x)的一阶导数f(x)0，则f(x)在该区间内单调递减。
二阶导数大于0
若在某区间I上，函数f(x)的二阶导数f(x)0，则f(x)在该区间内可能不是单调函数，可能存在拐点。
二阶导数小于0
拐点判定
若f(x)在某点x0处由正变负或由负变正，则点(x0,f(x0))为函数的拐点。
若在某区间I上，函数f(x)的二阶导数f(x)0，且f(x)在该区间内不变号，则f(x)在该区间内单调递增或递减（取决于f(x)的符号）。
偏导数判断
01
对于多元函数f(x,y,...)，可以通过求偏导数来判断函数关于某一变量的单调性。
方向导数
02
方向导数表示函数在某一点沿某一方向的变化率，可以用来判断函数在该方向上的单调性。
Hessian矩阵
03
对于二元函数f(x,y)，可以通过求Hessian矩阵来判断函数的单调性、凹凸性等性质。Hessian矩阵由函数的二阶偏导数构成。
PART
04
极值与单调性关系探讨
2023
REPORTING
极值点是单调性改变的点
函数在其定义域内，极值点处函数的单调性会发生变化，由递增变为递减或由递减变为递增。
单调区间与极值点的关系
一个单调区间内至多有一个极值点，且该极值点为
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