二次函数的图像及其性质.pptx

二次函数的图像及其性质汇报人：XX2024-02-02

CATALOGUE目录二次函数基本概念二次函数图像特征二次函数单调性与最值问题二次函数与不等式关系研究二次函数图像变换规律探究实际应用举例与拓展思考

01二次函数基本概念

一般地，形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。二次函数定义二次函数可以用一般式y=ax2+bx+c表示，也可以用顶点式y=a(x-h)2+k表示，其中(h,k)为顶点坐标。二次函数表示方法二次函数定义与表示方法

a决定抛物线的开口方向和大小。当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口。|a|越大，抛物线的开口越小。a的影响b和a共同决定对称轴的位置。对称轴x=-b/2a。b还影响抛物线与y轴的交点。当x=0时，y=c，即抛物线与y轴的交点为(0,c)。b的影响c决定抛物线与y轴的交点。抛物线与y轴交于(0,c)。c的影响系数对二次函数影响分析

二次函数与一元二次方程的联系一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解就是二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标。即二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根。二次函数与一元二次方程的区别二次函数是一个函数，表示的是一种对应关系，可以有无数个值；而一元二次方程是一个等式，表示的是未知数的值，最多只有两个解（重根时为一个解）。二次函数与一元二次方程关系

02二次函数图像特征

当a0时，抛物线开口向上；当a0时，抛物线开口向下。在开口向上的抛物线中，随着自变量x的增大，函数值y先减小后增大；在开口向下的抛物线中，随着自变量x的增大，函数值y先增大后减小。抛物线开口方向判断函数值与自变量关系二次项系数a的正负

顶点坐标公式为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)，其中a、b、c分别为二次函数的系数。公式法将二次函数通过配方转化为顶点式y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)即为顶点坐标。配方法顶点坐标求解方法

二次函数的对称轴方程为x=-b/2a，其中a、b为二次函数的系数。对称轴方程抛物线是轴对称图形，对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P，特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）。在对称轴左侧的部分，图像从左往右是上升（或下降）的，在对称轴右侧的部分，图像从左往右是下降（或上升）的。对称轴性质对称轴位置及性质探讨

03二次函数单调性与最值问题

求二次函数的导数，根据导数的正负判断函数的单调性。导数法判别式法区间法对于形如$y=ax^2+bx+c$的二次函数，可以通过判别式$Delta=b^2-4ac$的符号来判断函数的单调性。根据二次函数的开口方向和对称轴，可以判断出函数在不同区间上的单调性。030201单调性判断方法及步骤

最大值和最小值求解技巧顶点坐标公式对于形如$y=ax^2+bx+c$的二次函数，其顶点坐标为$(-frac{b}{2a},c-frac{b^2}{4a})$，根据顶点的纵坐标可以求得函数的最值。判别式法当二次函数与x轴有交点时，可以通过判别式求得函数的最值。导数法求二次函数的导数，并令其为0，解得x的值后代入原函数，即可求得函数的最值。

成本最小化问题在满足一定生产需求的前提下，通过调整生产方案，使得总成本达到最小。利润最大化问题在生产和销售过程中，通过调整生产和销售策略，使得总利润达到最大。资源分配问题在有限的资源条件下，通过合理分配资源，使得某项指标达到最优。这些问题都可以通过建立二次函数模型，并求解最值来得到解决。应用举例：优化问题中的最值求解

04二次函数与不等式关系研究

判别式大于001当判别式$Delta=b^2-4ac0$时，二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x轴有两个交点，不等式$ax^2+bx+c0$（或$0$）的解集为两个区间。判别式等于002当判别式$Delta=b^2-4ac=0$时，二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x轴有一个交点，不等式$ax^2+bx+c0$（或$0$）的解集为一个区间，但不包括交点。判别式小于003当判别式$Delta=b^2-4ac0$时，二次方程无实根，二次函数图像与x轴无交点，不等式$ax^2+bx+c0$（或$0$）的解集为全体实数或空集。判别式在不等式中的应用

123通过计算判别式和区间端点处的函数值，可以确定二次函数在给定区间上的根分布情况。利用判别式和区间端点函数值对于可导的二次函数，可以通过求导判断其在给定区间上的单调性，从而确定根的分布情况。利用导数判断单调性通过平移、翻折等图像变换，可以将复杂的二次函数转化为简单的形式，便于判断根的分布情况。利用图像