线性代数教案.docVIP

第一章行列式

§1.1n阶行列式

§1.2n阶行列式的性质

教学目的：使学生了解和掌握n级排列、逆序逆序数奇排列偶排列n阶行列式定义及行列式的计算，了解和掌握n阶行列式的基本性质

教学重点：n阶行列式定义及计算义，n阶行列式的基本性质

教学难点：n阶行列式定义、基本性质及利用行列式的性质计算行列式

教学时数：4学时

教学方法：课堂讲授

教学内容与过程：

课堂考勤

讲授新课

§1.1n阶行列式定义

一、导言线性方程组和矩阵在工程技术领域里有着广泛的应用，而行列式就是研究线性方程组的求解理论和矩阵理论的重要工具。

二、新授

(一)n级排列及其奇偶性

1.定义：由n个数1，2，3，……，组成的一个有序数组称为一个n级排列。

例14321是一个4级排列，35241是一个5级排列．123…n是一个n级排列，它是唯一一个按着由小到大的次序组成的n级排列,称它为n级标准排列．

2.定义：在一个排列中的两个数，如果排在前面的数大于排在后面的数，则称这两个数构成一个逆序。在一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数。

排列j1j2…jn的逆序数记为τ(j1j2…jn)。

逆序数为奇数的排列称为奇排列，

逆序数为偶数的排列称为偶排列。

例3在4级排列中，τ(3412)=2+2=4，故4级排列3412为一个偶排列。

τ(2341)=1+1+1=3，故4级排列2341为一个奇排列。

定理1.1：一个排列中的任何两个元素对换，排列改变奇偶性

（二）二阶、三阶行列式

对于二元线性方程组

（1.1）

采用加减消元法从方程组里消去一个未知量来求解，为此：

第一个方程乘以a22与第二个方程乘以a12相减得

（a11a22－a21a12）x1=b1a22-b2a12

第二个方程乘以a11与第一个方程乘以a21相减得

（a11a22－a21a12）x2=a11b2-a21b1

若a11a22－a21a12≠0，方程组的解为

（1.2）

容易验证（1.2）式是方程组(1.1)的解。

称为二阶行列式，它称为方程组（1.1）的系数行列式，记为D。我们若记

方程组的解（1.2）式可写成

对三元线性方程组

（1.4）

与二元线性方程组类似，用加减消元法可求得它的解：

(1.5)

为方程组（1.4）的系数行列式,Dj(j=1,2,3)是将D的第j列换成常数列而得到的行列式。

二阶、三阶行列式可用对角线法则计算。

为研究高阶行列式的结构，下面考察等式（1.5）：

（1.5）式也可写成如下形式

这里j1j2j3是1，2，3的一个排列，表示对所有的3级排列求和。

(三)n阶行列式的定义

1.定义：把由n2个数排成n行n列的

（1.7）

称为n阶行列式,它等于所有取自(1.7)中属于不同行同列的n个元素的乘积

的代数和。这里j1j2…jn是1，2，…，n的一个排列，当τ(j1j2…jn)是偶数时，乘积项前面取正号，当τ(j1j2…jn)是奇数时，乘积项前面取负号。亦可以将这一定义写成

(1.8)

等式（1.8）右边表示此n阶行列式的展开式，亦表示n阶行列式的值。

当n=2或n=3时(1.8)式表示二阶或三阶行列式,我们还规定一阶行列式|a|的值等于a。

2.例:计算行列式

(1)(2)

解:

根据例中（1），对于n阶对角行列式可证得下面的结论：

例5求下面四阶上三角行列式的值

解：根据行列式的定义可知，若乘积项不为零，第一列只能取a11，第二列两个非零元素只能取a22，第三列三个非零元素只能取a33，第四列四个非零元素只能取a44，故此

对于n阶上、下三角行列式，我们可以证得以下结论：

。

由此，设法将一般高阶行列式化成三角行列式再求值，是计算行列式的一种简单方便的方法。

§1.2n阶行列式的基本性质

一、导入

二、新授

（一）定义1.4：将行列式D的行列位置互换后所得的行列式称为D的转置行列式，记为DT。即

,

（二）性质

性质1：行列式D与它的转置行列式DT值相等，即D=DT。

性质1说明行列式中行与列的地位是相同的，所以凡对行成立的性质，对列也成立。

性质2：行列式中任意两行（列）互换后，行列式的值仅改变符号。

若设

，则D=－D1