高等数学 第一章ppt课件 函数、极限与连续.ppt

证明:如果则因为则且所以解:例9.求则第一章无穷小与无穷大第五节一、无穷小的概念二、无穷小的性质三、无穷小的比较四、无穷大在极限理论中,以零为极限的函数有着极其重要的作用.本节讨论函数（数列）的两种特殊变化趋势:本节难点利用无穷小运算求函数极限等价无穷小的代换无限变小—无穷小量无限变大—无穷大量例8.求极限解:令，当时，，所以第一章极限存在准则两个重要极限第四节一、夹逼准则二、单调有界准则一、夹逼准则1.夹逼准则设数列准则1：满足：（1）：（2）：则数列极限存在，且证明（略）几何解释：例1.求例2.解答解答求设函数准则1，：满足：（1）：当（2）：则关于数列极限的夹逼准则可以推广到函数极限的情形。（或）时，有存在且等于(2).分子和分母的极限均为零.(3).分子分母的形式相同.即有:的单位为弧度.例如如果把此极限作为重要极限来计算就错了!2、第一个重要极限特点:注:代表相同的表达式，且趋向于零。证明2、第一个重要极限例3解答求例4求解答例5解答求例6求解答二、单调有界准则1、单调数列的定义如果数列满足条件：则称数列是单调增加的；满足条件：则称数列是单调减少的。如果数列单调增加和单调减少的数列统称单调数列。2、单调有界准则准则Ⅱ单调有界数列必有极限。2、单调有界准则单调有界数列必有极限。说明：（1）数列单调增加且有上界，即存在数，则存在且不大于（2）数列单调减少且有下界，即，使得存在数，则存在且不大于，使得（3）如果数列不仅有界，而且是单调的，那么数列收敛。例7.设解答证明数列的极限存在,并求此极限。3、第二个重要极限证明e为无理数,其值为第二个重要极限(2).底的极限是1,指数的极限是无穷大.(1).底是两项之和,第一项是1,第二项是指数的倒数.(3)此极限也可写为即有:注:代表相同的表达式的特点:(第二个重要极限的第二种形式)例8解答求例9求解答例10解答求例11求解答2、幂指函数函数形如结论：如果则证明例9求解答内容小结1.夹逼准则；2.第一个重要极限；3.单调有界准则；4.第二个重要极限；本节完填空题(1～4)解:由于例1.求易见又所以解:记例2.求因又所以证明:在如图所示的单位圆中，第一个重要极限设圆心角取弧度，则有的面积扇形AOB的面积的面积由此得：即：将其变形为：证明:第一个重要极限因为均为偶函数，所以上述不等式在区间由于也成立。所以，由夹逼准则可得：解:例3.求解:例4.求解:例5.求令则当时，所以解:例6.求令则当时，所以证明:显然又例7.设证明数列的极限存在,并求此极限。证明:所以数列单调减少。由准则Ⅱ知，存在。设极限为A，对等式两边同时取极限，得解此方程得：证明:先考虑取第二个重要极限正整数的情形。设，按牛顿二项展开式，有证明:同样有证明:通过比较可得：即数列是单调增加的。所以数列有上界。由准则Ⅱ知，数列极限存在。证明:可以进一步证明，当取实数或时，函数的极限都存在且等于，故解:例8.令则当时，所以求解:例9.求解:例10.求由于所以解:例11.求令则当时，所以即点我例2所以,不存在.例6解：注1函数当时的极限是否存在,与在处是否有定义没有关系.注2基本初等函数在其定义域内的每个点处,都有.例如例7不存在.xy1sin=例8解：因为左极限和右极限存在但不相等,所以yOx-11不存在.第一章极限的运算法则第三节一、极限的四则运算法则二、复合函数的极限运算法则一、极限的四则运算法则定理1.设，，则（1）,,,,下面用记号表示，，，，，中任意一个.在同一定理或命题中,考虑的是自变量的同一变化过程.（2）（3）（3）对有限个函数或数列的情形也成立.说明：（1）在自变量的同一变化过程中