用正多边形铺设地面—知识讲解[001].docVIP

专注：心无旁骛，万事可破

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专注：心无旁骛，万事可破

用正多边形铺设地面知识讲解

责编：杜少波

【学习目标】

1.通过用相同的正多边形拼地板活动，巩固多边形的内角和与外角和公式；

2.联系一种正多边形拼地板，探索用多种正多边形拼地板的过程和原理，体会用多种正多边形拼地板与一种正多边形拼地板的相互关系；

3.通过“拼地板”和有关计算，使学生从中发现能拼成一个不留空隙，又不重叠的平面图形的关键是几个多边形在一个顶点处的内角相加要等于360°；

4.提高观察、分析、概括、抽象等能力，进一步认识图形在日常生活中的应用.

【要点梳理】

要点一、正多边形的有关概念

1．正多边形定义：在平面内各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．

2.正多边形的内角：正多边形的每个内角都相等，都等于；正多边形的内角和与一般n边形的内角和公式相同为(n-2)·180°(n≥3)．

3.正多边形的外角和：正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于；正多边形的外角和与一般多边形的外角和一样都为360°．

4.正多边形的对角线：连接正多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做正多边形的对角线.

要点诠释：

(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；

(2)已知正多边形的边数，可求其内角和以及每个内角；已知多边形内角和就可以求其边数；

(3)已知正多边形一个内角可以求其外角，从而用外角和求正多边形边数；

(4)从正n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将正多边形分成(n－2)个三角形；共有条对角线．

要点二、平面铺设的概念和特征

1.定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)．这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同.

要点诠释：（1）拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边.

(2)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°.

2.用一种正多边形铺设地面

只用一种正多边形镶嵌地面，当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，这种正多边形可以铺设地面.事实上，在正多边形中，能用一种正多边形铺满地面的只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用.

要点诠释：正多边形能用于铺设地面的前提条件是：这个正多边形一个内角的度数是360°的约数.正三角形的一个内角度数为180÷3=60°，是360°的约数；正方形的一个内角度数为360÷4=90°，是360°的约数；正六边形的一个内角度数为180﹣360÷6=120°，是360°的约数，所以它们都可以用于铺设地面，而其他正多边形内角不能满足这个条件，所以不能用于铺设平面.

3.用多种正多边形铺设地面

正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个正多边形的内角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．

（1）用两种正多边形铺设地面的组合有：①正三角形与正方形；②正三角形与正六边形；③正三角形与正十二边形；④正方形与正八边形.

（2）用三种正多边形铺设地面的组合有：①正三角形、正方形与正六边形；②正方形、正六边形与正十二边形③正三角形、正十边形与正十五边形④正方形、正五边形与正二十边形.

要点诠释：（1）用两种正多边形铺设地面满足方程：内角度数×m+另一种内角度数×n=360°有正整数解（即m、n均为正整数）.

（2）用三种正多边形铺设地面满足方程：内角度数×m+另一种内角度数×n＋第三种内角度数×k=360°有正整数解（即m、n、k均为正整数）.

（3）有时几种正多边形的组合能围绕一点拼成周角，但不能扩展到整个平面，即不能铺满平面.如：正五边形与正十边形的组合.

4.任意多边形平面铺设：

形状、大小完全相同的任意三角形能镶嵌成平面图形；形状、大小相同的任意四边形（凸四边形）能镶嵌成平面图形.

要点诠释：任意三角形、四边形（形状、大小相同）能镶嵌平面是因为：三角形内角和为180°，是360°的约数；四边形（凸四边形）的内角和是360°，也是360°的约数.所以大小形状相同任意三角形、四边形围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角(360°)时，就能铺满地面.

【典型例题】

类型一、正多边形的相关概念

1．过正十二边形的一个顶点有条对角线，它共有条对角线；它的每一个