一元二次方程的解法（二）配方法—知识讲解（提高）[004].docVIP

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一元二次方程的解法（二）配方法—知识讲解（提高）

责编：常春芳

【学习目标】

1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；

2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；

3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力。

【要点梳理】

知识点一、一元二次方程的解法配方法

1．配方法解一元二次方程：

(1)配方法解一元二次方程：

将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.

(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.

(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：

①把原方程化为的形式；

②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.

要点诠释：

（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；

（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.

（3）配方法的理论依据是完全平方公式．

知识点二、配方法的应用

1．用于比较大小：

在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.

2．用于求待定字母的值：

配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．

3．用于求最值：

“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．

4．用于证明：

“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．

要点诠释：

“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．

【典型例题】

类型一、用配方法解一元二次方程

1.用配方法解方程：

（1）（?岳池县模拟）2x2﹣4x﹣3=0；（2）（春?泰山区期中）3x2﹣12x﹣3=0.

【思路点拨】

方程(1)(2)的的次项系数不是1，必须先化成1，才能配方，这是关键的一步．配方时，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，目的是把方程化为的形式，然后用直接开平方法求解．

【答案与解析】

解：（1）∵2x2﹣4x﹣3=0，

∴，

∴，

∴x﹣1=±，

∴．

（2）3x2﹣12x﹣3=0，

3x2﹣12x=3，

x2﹣4x=1，

x2﹣4x+4=1+4，

（x﹣2）2=5，

x﹣2=，

x1=2+，x2=2﹣；

【点评】配方要注意一次项的符号决定了左边的完全平方式中是两数和的平方还是两数差的平方．

举一反三：

【高清ID号：388499

关联的位置名称（播放点名称）：用配方法解一般的一元二次方程例2、用配方法解含字母系数的一元二次方程例3】

【变式】用配方法解方程

（1）（2）

【答案】（1）

.

（2）

①当时，此方程有实数解，

；

②当时，此方程无实数解.

类型二、配方法在代数中的应用

2.用配方法证明的值小于0．

【思路点拨】

本题不是用配方法解一元二次方程，但所用的配方法思想与自己学的配方法大同小异，即思路一致．

【答案与解析】

．

∵，∴，

即．故的值恒小于0．

【点评】证明一个代数式大于零或小于零，常用方法就是利用配方法得到一个含完全平方式和一个常数

的式子来证明．

举一反三：

【变式】试用配方法证明：代数式的值不小于．

【答案】

．

∵，∴．

即代数式的值不小于．

3.（春?宜兴市校级月考）若把代数式x2+2bx+4化为（x﹣m）2+k的形式，其中m，k为常数，则k﹣m的最大值是．

【答案】；

【解析】解：x2+2bx+4

=x2+2bx+b2﹣b2+4

=（x+b）2﹣b2+4；

∴m=﹣b，k=﹣b2+4，

则k﹣m=﹣（b﹣）2+．

∵﹣（b﹣）2≤0，

∴当b=时，k﹣m的最大值是．