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微积分吴传生版高等数学课件2024-01-25

绪论极限与连续导数与微分积分学微分中值定理与导数的应用重积分与曲线积分目录

01绪论

函数研究函数的性质、图像、极限、连续性等。积分学研究函数在某个区间上的累积效应，即定积分。微分学研究函数在某一点的变化率，即导数。微积分的研究对象

123古希腊时期，阿基米德利用穷竭法计算面积和体积，中国南北朝时期，祖冲之父子利用割圆术计算圆周率。古代微积分思想的萌芽牛顿和莱布尼兹分别独立地创立了微积分学，其中牛顿注重物理应用，莱布尼兹注重数学形式。17世纪微积分的创立欧拉、拉格朗日等人对微积分进行了严格化处理，建立了实数理论和极限理论，为微积分学的发展奠定了基础。18世纪微积分的严格化微积分的发展历史

微分思想通过局部以直代曲的方法，用切线的斜率近似代替函数在该点的变化率。积分思想通过分割、近似、求和、取极限的方法，将曲边梯形的面积转化为定积分的计算。微积分基本定理揭示了微分与积分之间的内在联系，即定积分等于被积函数的原函数在积分区间上的增量。微积分的基本思想

02极限与连续

03左右极限函数在某一点左侧和右侧极限的定义及性质。01极限的定义描述函数在某一点或无穷远处的变化趋势。02极限的性质唯一性、局部有界性、保号性、四则运算法则。极限的概念与性质

极限的四则运算法则加法、减法、乘法、除法的极限运算法则。无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量的定义、性质及比较。复合函数的极限运算法则复合函数极限的求解方法。极限的运算法则

函数在某一点连续的定义及性质。连续函数的定义间断点的定义及分类，包括第一类间断点和第二类间断点。间断点及其分类连续性、介值性、最大值最小值定理等。连续函数的性质连续函数的概念与性质

03导数与微分

导数的定义导数描述了函数在某一点处的切线斜率，反映了函数值随自变量变化的快慢程度。左导数与右导数分别表示函数在某一点左侧和右侧的变化趋势，用于判断函数在该点的可导性。导数的几何意义导数在几何上表示曲线在某一点处的切线斜率，即切线的倾斜程度。可导与连续的关系可导必连续，连续不一定可导。可导是比连续更强的条件。导数的概念与性质

四则运算法则介绍了函数的和、差、积、商的求导法则，以及复合函数的求导法则。高阶导数讨论了函数的高阶导数及其计算方法，包括莱布尼兹公式等。基本初等函数的导数公式包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等基本初等函数的导数计算公式。导数的计算法则

微分的概念与性质微分的定义微分是函数在某一点处的局部变化量的线性近似，即函数的局部线性化。微分的几何意义微分在几何上表示曲线在某一点处的切线的纵截距，即切线的垂直距离。微分与导数的关系微分是导数乘以自变量的增量，即dy=f(x)dx，其中f(x)是函数y=f(x)在x处的导数。微分的基本公式与运算法则介绍了微分的基本公式，如dx^n=nx^(n-1)dx等，以及微分的四则运算法则和复合函数的微分法则。

04积分学

01定积分是函数在一个区间上的积分，表示函数图像与x轴所围成的面积。定积分的定义02定积分具有线性性、可加性、保号性、绝对值不等式等性质。定积分的性质03定积分可以表示平面图形的面积、空间图形的体积等。定积分的几何意义定积分的概念与性质

牛顿-莱布尼兹公式通过求解被积函数的原函数，并利用区间端点的函数值计算定积分。换元法通过变量代换简化被积函数，从而更容易求解定积分。分部积分法将被积函数拆分为两个函数的乘积，并分别对其求导和积分，从而求解定积分。定积分的计算法则

广义积分的计算通过变量代换或分部积分等方法，将广义积分转化为普通定积分进行计算。含参变量积分的计算通过求导或微分等方法，将含参变量积分转化为普通定积分进行计算，并得出参数对积分结果的影响。含参变量积分的概念含参变量积分是指被积函数中含有除积分变量外的其他参数，且这些参数对积分结果有影响。广义积分的概念广义积分是指积分区间为无穷区间或被积函数在有限区间上有瑕点的定积分。广义积分与含参变量积分

05微分中值定理与导数的应用

微分中值定理如果函数在闭区间上连续，开区间内可导，且区间两端点的函数值相等，则至少存在一点使得该点的导数为零。拉格朗日中值定理如果函数在闭区间上连续，开区间内可导，则至少存在一点使得该点的导数等于区间两端点函数值之差与区间长度的商。柯西中值定理如果两个函数在闭区间上连续，开区间内可导，且分母函数的导数在该区间内不为零，则至少存在一点使得两个函数的导数之比等于区间两端点函数值之比。罗尔定理

洛必达法则与泰勒公式在一定条件下，通过求导可以简化两个函数之比的极限运算。具体地，如果两个函数在某点的极限都存在或为无穷大，且两个函数的导数在该点的极限存在，则原函数的极限等于导数的极限。洛必达法则用一个多项式来近似表示一个函数在某