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微积分习2024-01-24

微分学基本概念与运算积分学基本概念与运算微分中值定理及其应用积分中值定理及其应用微分方程初步知识无穷级数初步知识contents目录

微分学基本概念与运算01

导数定义导数描述了函数值随自变量变化的速率，即函数在某一点处的切线斜率。对于函数$y=f(x)$，其导数$f(x)$表示当$x$变化一个微小量$Deltax$时，$y$的近似变化率。几何意义导数的几何意义在于它反映了函数图像在某一点处的切线斜率。当导数大于0时，函数在该区间内单调递增；当导数小于0时，函数在该区间内单调递减；当导数等于0时，函数在该点处可能有极值点或拐点。导数定义及几何意义

123对于基本初等函数（如多项式、三角函数、指数函数、对数函数等），可以直接应用相应的求导公式进行求导。基本初等函数求导对于由基本初等函数经过四则运算得到的复合函数，可以使用求导的四则运算法则进行求导。四则运算求导对于复合函数，可以使用链式法则进行求导，即先求出内层函数的导数，再与外层函数的导数相乘。复合函数求导常见函数求导法则

高阶导数的定义高阶导数是指对函数进行多次求导得到的导数。例如，二阶导数是对一阶导数再次求导得到的。高阶导数的计算对于基本初等函数，可以直接应用相应的求导公式进行高阶导数的计算。对于复合函数，可以使用链式法则和乘积法则等方法进行高阶导数的计算。高阶导数计算

对于隐函数（即无法显式地解出因变量的函数），可以使用隐函数的求导法则进行求导。该法则基于链式法则和复合函数的求导法则，通过对方程两边同时求导来求解隐函数的导数。隐函数求导对于参数方程（即由参数表示的自变量和因变量之间的关系），可以使用参数方程的求导法则进行求导。该法则基于链式法则和复合函数的求导法则，通过对参数方程中的自变量和因变量分别求导来求解参数方程的导数。参数方程求导隐函数与参数方程求导

积分学基本概念与运算02

定积分定义及性质定积分的定义定积分是函数在一个区间上的积分，其结果是一个数值。定积分的定义包括积分区间、被积函数、积分变量等元素。定积分的性质定积分具有线性性、可加性、保号性、绝对值不等式等基本性质。这些性质在定积分的计算和应用中起到重要作用。

VS不定积分是求一个函数的原函数或反导数的过程。不定积分的结果是一个函数族，每个函数之间相差一个常数。不定积分的计算方法不定积分的计算方法包括基本积分公式、换元法、分部积分法等。其中，基本积分公式是计算不定积分的基础，换元法和分部积分法则是处理复杂被积函数的常用方法。不定积分的定义不定积分计算方法

定积分的换元法是通过变量代换将复杂的被积函数转化为简单的函数进行积分的方法。常见的换元法有三角代换、根式代换、倒代换等。定积分的分部积分法是将被积函数拆分为两个函数的乘积，然后利用乘积的求导法则和积分法则进行积分的方法。分部积分法在计算含有幂函数、三角函数、指数函数等的定积分时非常有效。定积分的换元法定积分的分部积分法定积分换元法与分部积分法

广义积分的定义广义积分是对定积分的扩展，允许积分区间包含无穷大或者被积函数在某点无界。广义积分包括无穷限广义积分和无界函数广义积分两种类型。广义积分的计算方法广义积分的计算方法与定积分类似，但需要特别注意无穷大和无界点处的处理方式。对于无穷限广义积分，可以通过变量替换将其转化为定积分进行计算；对于无界函数广义积分，可以通过分割区间、取极限等方式进行处理。广义积分简介

微分中值定理及其应用03

罗尔定理拉格朗日中值定理几何意义罗尔定理与拉格朗日中值定理如果函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)$，则至少存在一点$cin(a,b)$，使得$f(c)=0$。如果函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，则至少存在一点$cin(a,b)$，使得$f(c)=frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。罗尔定理和拉格朗日中值定理都表明，在连续且可导的函数图像上，至少存在一点的切线斜率与连接区间端点的割线斜率相等。

如果函数$f(x)$和$g(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，且$g(x)neq0$，则至少存在一点$cin(a,b)$，使得$frac{f(c)}{g(c)}=frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$。柯西中值定理在证明不等式、求解极限等方面有广泛应用。例如，利用柯西中值定理可以证明洛必达法则。柯西中值定理及其应用应用柯西中值定理

泰勒公式如果函数$f(x)$在点$x_0$处具有$n$阶导数，则存在$x_0$的一个邻域，对于该邻域内的任意$x$，有$f(x)=f(x_0)+f(x_0)(x-x_0)+frac{f(x_0)}{2