微积分赵树嫄编.pptxVIP

2024-01-26THEFIRSTLESSONOFTHESCHOOLYEAR微积分赵树嫄编

目CONTENTS绪论极限与连续导数与微分微分中值定理与导数的应用不定积分与定积分多元函数微积分学录

01绪论

古代微积分思想的萌芽01古希腊时期，阿基米德利用穷竭法计算面积和体积，中国古代数学家刘徽提出割圆术，这些都是微积分思想的早期萌芽。17世纪微积分的创立0217世纪，牛顿和莱布尼茨分别独立地创立了微积分学。牛顿从物理学的角度出发，创立了“流数术”（即微分学），而莱布尼茨则从几何学的角度出发，发明了微积分的基本定理和符号体系。18-19世纪微积分的发展03这一时期，数学家们对微积分的理论基础进行了深入研究，建立了实数理论、极限理论和连续统假设等，使微积分学建立在严格的数学基础之上。微积分的产生与发展

微积分的研究对象是函数，主要研究函数的微分与积分及其相关性质和应用。研究对象微积分的基本问题包括函数的极限、连续、可微、可积等问题，以及微分中值定理、泰勒公式、洛必达法则等重要定理和公式。基本问题微积分的研究对象与基本问题

掌握基本概念和定理学习微积分首先要掌握基本概念和定理，如极限、连续、导数、微分、定积分等。多做练习题通过大量的练习，加深对概念和定理的理解，提高解题能力。注重数学思想的领悟在学习过程中，要注重对数学思想的领悟，如数形结合思想、化归思想等。理论与实践相结合将所学的微积分知识应用到实际问题中，提高分析问题和解决问题的能力。微积分的学习方法

01极限与连续

设函数$f(x)$在点$x_0$的某个去心邻域内有定义，如果存在常数$A$，对于任意给定的正数$epsilon$（无论它多么小），总存在正数$delta$，使得当$x$满足不等式$0|x-x_0|delta$时，对应的函数值$f(x)$都满足不等式$|f(x)-A|epsilon$，那么常数$A$就叫做函数$f(x)$当$xtox_0$时的极限。极限的定义唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性、迫敛性。极限的性质极限的概念与性质

若两个函数在某点的极限存在，则它们的和、差、积、商在该点的极限也存在，且等于这两个函数在该点的极限的和、差、积、商。极限的四则运算法则若函数$y=f[g(x)]$在点$x_0$处的极限存在，且函数$y=g(x)$在点$x_0$处的极限也存在，则复合函数在点$x_0$处的极限也存在，且等于这两个函数在该点的极限的复合。复合函数的极限运算法则极限的运算法则

无穷小量的定义如果函数$f(x)$当$xtox_0$（或$xtoinfty$）时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$xtox_0$（或$xtoinfty$）时的无穷小量。无穷大量的定义如果对于任意给定的正数$M$（无论它多么大），总存在正数$delta$（或正数$X$），使得当$x$满足不等式$0|x-x_0|delta$（或$|x|X$）时，对应的函数值$f(x)$都满足不等式$|f(x)|M$，那么称函数$f(x)$为当$xtox_0$（或$xtoinfty$）时的无穷大量。无穷小量与无穷大量之间的关系在同一变化过程中，如果两个量都是无穷小量或都是无穷大量，那么这两个量可以互相比较大小；如果一个是无穷小量而另一个是无穷大量，那么这两个量无法比较大小。无穷小量与无穷大量

连续函数的定义设函数$y=f(x)$在点$x_0$的某个邻域内有定义，如果当自变量的增量$Deltax=x-x_0$趋于零时，对应函数值的增量$Deltay=f(x)-f(x_0)$也趋于零，即$lim_{Deltaxto0}Deltay=0$，那么称函数在点$x_0$处连续。间断点的分类第一类间断点（可去间断点和跳跃间断点）和第二类间断点（无穷间断点和振荡间断点）。连续函数的性质局部有界性、保号性、介值定理、最值定理等。函数的连续性

01导数与微分

导数的定义导数描述了函数值随自变量变化的快慢程度，即函数在某一点处的切线斜率。导数的性质包括可导性、导数的四则运算法则、复合函数的导数、反函数的导数等。导数与连续性的关系连续不一定可导，但可导必定连续。导数的概念与性质030201

包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。基本初等函数的导数公式加法、减法、乘法、除法的导数计算规则。四则运算的导数法则链式法则，用于求解复合函数的导数。复合函数的导数法则反函数的导数等于原函数导数的倒数。反函数的导数法则导数的计算法则

函数导数的导数称为二阶导数，二阶导数的导数称为三阶导数，以此类推。高阶导数的定义通过连续求导得到高阶导数，注意求导顺序和法则的应用。高阶导数的计算高阶导数可以反映函数的凹凸性、拐点等性质。高阶导数与函数性质的关系高阶导数

微分的定义微分是函数局部变化的一种线性近似，即函