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微积分复习课课件2024-01-25

微分学基本概念与运算积分学基本概念与运算微分方程初步多元函数微分学无穷级数简介总结回顾与拓展延伸目录CONTENTS

01微分学基本概念与运算

VS设函数$y=f(x)$在点$x_0$的某个邻域内有定义，当自变量$x$在$x_0$处有增量$Deltax$，$(x_0+Deltax)$也在该邻域内时，相应地函数取得增量$Deltay=f(x_0+Deltax)-f(x_0)$；如果$Deltay$与$Deltax$之比当$Deltaxto0$时极限存在，则称函数$y=f(x)$在点$x_0$处可导，并称这个极限为函数$y=f(x)$在点$x_0$处的导数。几何意义函数$y=f(x)$在点$x_0$处的导数$f(x_0)$的几何意义表示函数曲线在点$P_0(x_0,f(x_0))$处的切线的斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。导数定义导数定义及几何意义

对于常数C，其导数为0，即$(C)=0$。常数求导例如$sinx$的导数为$cosx$，$cosx$的导数为$-sinx$等。三角函数求导对于形如$y=x^n$的幂函数，其导数为$y=nx^{n-1}$。幂函数求导对于形如$y=a^x$的指数函数（其中a为常数且a0，a≠1），其导数为$y=a^xlna$。指数函数求导对于形如$y=log_ax$的对数函数（其中a为常数且a0，a≠1），其导数为$y=frac{1}{xlna}$。对数函数求导0201030405常见函数求导法则

高阶导数定义如果函数的导数在区间内每一点都可导，则称该函数在这区间内存在二阶导数，记为$f(x)$或$frac{d^2y}{dx^2}$。类似地，可以定义更高阶的导数。计算方法逐次求导，每次对前一次求得的导数再次求导。高阶导数计算

设函数$y=f(x)$在某区间内有定义，$x_0$及$x_0+Deltax$在这区间内，如果函数的增量$Deltay=f(x_0+Deltax)-f(x_0)$可表示为$Deltay=ADeltax+o(Deltax)$（其中A是不依赖于$Deltax$的常数），而$o(Deltax)$是比$Deltax$高阶的无穷小，那么称函数$y=f(x)$在点$x_0$是可微的，且ADeltax称作函数在点$x_0$相应于自变量增量$Deltax$的微分，记作$dy$，即$dy=ADeltax$。微分在近似计算、误差估计以及最优化问题等方面有广泛应用。例如，利用微分进行函数的局部线性逼近（泰勒公式），或者求解函数的极值点和拐点等。微分定义应用微分概念及应用

02积分学基本概念与运算

定积分的定义设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上有界，且$a=x_0x_1...x_{n-1}x_n=b$是$[a,b]$的一个分划，若$lim_{lambdato0}sum_{i=1}^{n}f(xi_i)Deltax_i$存在，则称此极限值为函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的定积分，记为$int_{a}^{b}f(x)dx$。定积分的性质定积分具有线性性、可加性、保号性、绝对值不等式性质等。定积分定义及性质

设函数$f(x)$在区间$I$上有原函数$F(x)$，则称$F(x)$为$f(x)$在$I$上的一个原函数，并称$intf(x)dx=F(x)+C$（其中$C$为任意常数）为$f(x)$在$I$上的不定积分。通过凑微分、换元法、分部积分法等方法求解不定积分。不定积分计算方法不定积分的计算方法不定积分的定义

通过牛顿-莱布尼兹公式、换元法、分部积分法等方法求解定积分。定积分的计算方法若函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$F(x)$是$f(x)$的一个原函数，则$int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$。牛顿-莱布尼兹公式定积分计算方法

设函数$f(x)$在$[a,+infty)$或$(-infty,b]$或$(-infty,+infty)$上有定义，若$lim_{Ato+infty}int_{a}^{A}f(x)dx$或$lim_{Bto-infty}int_{B}^{b}f(x)dx$或$lim_{Ato+infty,Bto-infty}int_{B}^{A}f(x)dx$存在，则称此极限值为函数$f(x)$的广义积分。广义积分的定义通过换元法、分部积分法等方法求解广义积分，注意在求解过程中需要判断积分的敛散性。广义积分的计算方法广义积分简介

03微分方程初步

微分方程概念