高一数学《二次函数在闭区间上的最值》练习题 .pdf

第1课二次函数在闭区间上的最值

基础过

一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。

一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.

设f(x)ax2bxc(a0)，求f(x)在x[m，n]上的最大值与最小值。

b4acb2b

分析：将f(x)配方，得顶点为，、对称轴为x

2a4a2a

当a0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m，n]上f(x)的最值：

bf(x)fb4acb2

（1）当m，n时，的最小值是，

2a2a4a

f(x)的最大值是f(m)、f(n)中的较大者。

b

（2）当(,m)时，f(x)在m，n上是增函数则f(x)的最小值是f(m)，最大值是f(n)

2a

b

（3）当(n,)时，f(x)在m，n上是减函数则f(x)的最大值是f(m)，最小值是f(n)

2a

当a0时，可类比得结论。

典型例

（一）、正向型

是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类

问题的关键。此类问题包括以下四种情形：

（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。

1.轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最

值”。

例1.函数yx24x2在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。

练习.已知2x23x，求函数f(x)x2x1的最值。

2、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我

们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。

例2.如果函数f(x)(x1)21定义在区间上，求的最小值。

t，t1f(x)

例3.已知2，当，时，求的最大值．

f(x)x2x3x[t,t1]tRf(x)

观察前两题的解法，为什么最值有时候分两种情况讨论，而有时候又分三

种情况讨论呢？这些问题其实仔细思考就很容易解决。不难观察：二次函数在

闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到。第一个例题

-来源网络，仅供个人学习参考

中，这个二次函数是开口向上的，在闭区间上，它的最小值在区间的两个端点

或二次函数的顶点都有可能取到，有三种可能，所以分三种情况讨论；而它的

最大值不可能是二次函数的顶点，只可能是闭区间的两个端点，哪个端点距离

对称轴远就在哪个端点取到，当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种

情况讨论。根据这个理解，不难解释第二个例题为什么这样讨论。

对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：

b

f(n)，n(如图3)

b12a