微积分学标准课件24-第24讲不定积分及其计算.pptxVIP

微积分学PPt标准课件24-第24讲不定积分及其计算2024-01-24

不定积分基本概念与性质换元法求解不定积分分部积分法求解不定积分有理函数和简单无理函数不定积分三角函数和指数函数相关不定积分总结与拓展目录

01不定积分基本概念与性质

不定积分定义设函数$f(x)$在区间$I$上有定义，如果存在可导函数$F(x)$，使得$F(x)=f(x)$对任意$xinI$成立，则称$F(x)$为$f(x)$在区间$I$上的一个原函数。对于任意常数$C$，函数族$F(x)+C$也是$f(x)$的原函数。几何意义不定积分$intf(x)dx$表示的是被积函数$f(x)$的图像与$x$轴所围成的面积。当$f(x)0$时，面积在$x$轴上方；当$f(x)0$时，面积在$x$轴下方。不定积分定义及几何意义

如果函数$f(x)$在区间$I$上连续，则$f(x)$在区间$I$上一定存在原函数。原函数存在定理如果函数$F(x)$是$f(x)$在区间$I$上的一个原函数，那么对于任意常数$C$，函数族$F(x)+C$也是$f(x)$的原函数，且$intf(x)dx=F(x)+C$。原函数与不定积分关系定理原函数与不定积分关系

不定积分基本性质区间可加性$int_{a}^{b}f(x)dx=int_{a}^{c}f(x)dx+int_{c}^{b}f(x)dx$，其中$acb$。线性性质$int[acdotf(x)+bcdotg(x)]dx=aintf(x)dx+bintg(x)dx$，其中$a,b$为常数。变换性质如果被积函数中的自变量可以进行某种变换，那么积分也可以进行相应的变换。例如，$intf(ax+b)dx=frac{1}{a}intf(u)du$，其中$u=ax+b$。

基本初等函数的不定积分公式，如$intx^ndx=frac{1}{n+1}x^{n+1}+C(nneq-1)$，$inte^xdx=e^x+C$，$intsinxdx=-cosx+C$等。一些特殊的不定积分公式，如$intfrac{1}{x}dx=ln|x|+C(xneq0)$，$intsqrt{a^2-x^2}dx=frac{1}{2}(xsqrt{a^2-x^2}+a^2arcsinfrac{x}{a})+C(a0)$等。常见不定积分公式回顾

02换元法求解不定积分

第一类换元法（凑微分法）凑微分法的基本思想：通过凑微分，将不定积分转化为基本积分公式中的形式，从而求得原函数。凑微分法的步骤观察被积函数，寻找可以凑微分的部分；利用基本积分公式，求出原函数。凑微分法的应用举例：求解不定积分∫(x^2+1)/(x^3+3x)dx。对该部分进行凑微分，构造出新的函数；

变量代换法的步骤利用基本积分公式或凑微分法，求出新变量的原函数；变量代换法的应用举例：求解不定积分∫√(a^2-x^2)dx(a0)。变量代换法的基本思想：通过变量代换，将不定积分转化为更容易求解的形式。选择适当的代换变量，将原积分转化为新变量的积分；将新变量的原函数代换回原变量，得到原积分的解。010203040506第二类换元法（变量代换法）

010405060302三角函数代换的基本思想：利用三角函数的性质，将不定积分转化为三角函数的形式，从而更容易求解。三角函数代换的常用技巧当被积函数含有√(a^2-x^2)时，令x=a*sinθ或x=a*cosθ；当被积函数含有√(x^2+a^2)时，令x=a*tanθ或x=a*secθ；当被积函数含有√(x^2-a^2)时，令x=a*secθ或x=a*cscθ。三角函数代换的应用举例：求解不定积分∫√(x^2+1)dx。三角函数代换技巧

复杂函数换元举例

复杂函数换元举例01复杂函数换元的步骤02观察被积函数的复杂部分，寻找可以简化的换元；进行复杂的换元，将原积分转化为新变量的积分；03

010203利用基本积分公式、凑微分法或变量代换法，求出新变量的原函数；将新变量的原函数代换回原变量，得到原积分的解。复杂函数换元的应用举例：求解不定积分∫(e^x+e^(-x))/(e^x-e^(-x))dx。复杂函数换元举例

03分部积分法求解不定积分

分部积分公式及适用条件分部积分公式∫u(x)v(x)dx=u(x)v(x)-∫u(x)v(x)dx适用条件当被积函数是两个函数乘积，且其中一个函数求导后变得简单，另一个函数求原函数后变得简单时，可以考虑使用分部积分法。

多项式函数与三角函数乘积优先对多项式函数求导，对三角函数求原函数。多项式