微积分学标准课件25-第25讲不定积分及其计算.pptxVIP

2024-01-24微积分学PPt标准课件25-第25讲不定积分及其计算

目录CONTENTS不定积分基本概念与性质换元法求解不定积分分部积分法求解不定积分有理函数和可化为有理函数的不定积分总结与拓展

01不定积分基本概念与性质

不定积分的定义设函数$f(x)$在区间$I$上有定义，如果存在可导函数$F(x)$，使得$F(x)=f(x)$对任意$xinI$成立，则称$F(x)$为$f(x)$在区间$I$上的一个原函数。对于任意常数$C$，函数族$F(x)+C$也是$f(x)$的原函数。称$intf(x)dx=F(x)+C$为$f(x)$在区间$I$上的不定积分，其中$int$为积分号，$f(x)$为被积函数，$f(x)dx$为被积表达式，$x$为积分变量。不定积分的几何意义不定积分$intf(x)dx=F(x)+C$表示的是一族曲线，这些曲线在平行于$y$轴的任意直线上的截距之差为常数。当$C=0$时，$intf(x)dx=F(x)$表示的是通过原点的一条曲线。不定积分定义及几何意义

原函数与不定积分是相互依存的。原函数的存在是不定积分存在的前提，而不定积分则是原函数的全体。求一个函数的不定积分，就是求它的原函数。原函数与不定积分的联系原函数是一个具体的函数，而不定积分则是一族函数，它们之间相差一个常数。此外，原函数的图形是一条确定的曲线，而不定积分的图形则是一族平行的曲线。原函数与不定积分的区别原函数与不定积分关系

01$int[k_1f_1(x)+k_2f_2(x)]dx=k_1intf_1(x)dx+k_2intf_2(x)dx$，其中$k_1,k_2$为常数。线性性质02$int_a^bf(x)dx=int_a^cf(x)dx+int_c^bf(x)dx$，其中$acb$。区间可加性03对于任意常数$k$，有$intkdx=kx+C$，其中$C$为任意常数。积分常数性不定积分基本性质

常见不定积分公式回顾指数函数的积分公式如$inte^xdx=e^x+C$，$inta^xdx=frac{a^x}{lna}+C$等。三角函数的积分公式如$intsinxdx=-cosx+C$，$intcosxdx=sinx+C$等。幂函数的积分公式$intx^ndx=frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$，其中$nneq-1$。对数函数的积分公式如$intlnxdx=xlnx-x+C$等。反三角函数的积分公式如$intarcsinxdx=xarcsinx+sqrt{1-x^2}+C$等。

02换元法求解不定积分

步骤2.通过凑微分，将被积函数转化为基本积分形式。示例：求解不定积分∫cos2xdx。原理：通过凑微分，将复杂的不定积分转化为简单的基本积分形式。1.观察被积函数，寻找可以凑微分的部分。3.应用基本积分公式，求出原函数。010203040506第一类换元法（凑微分法）

01原理：通过变量代换，将复杂的不定积分转化为简单的基本积分形式。02步骤031.选择适当的代换变量，将原变量用新变量表示。042.求出新变量的微分，并将其代入原不定积分中。053.应用基本积分公式，求出原函数。06示例：求解不定积分∫√(a2-x2)dx(a0)。第二类换元法（变量代换法）

010405060302原理：利用三角函数的性质，将根式或复杂的多项式转化为简单的三角函数形式，从而方便求解不定积分。常见三角代换1.√(a2+x2)=atanθ或asecθ2.√(a2-x2)=asinθ或acosθ3.√(x2-a2)=atanhθ或asechθ示例：求解不定积分∫√(x2+a2)dx。三角代换在不定积分中应用

常见根式代换1.对于含有√(ax+b)的不定积分，可令√(ax+b)=t。示例：求解不定积分∫x√(x-1)dx。2.对于含有√(x2+a2)或√(x2-a2)的不定积分，可采用三角代换后再进行根式代换。原理：通过根式代换，将含有根式的不定积分转化为简单的有理函数形式，从而方便求解。根式代换在不定积分中应用

03分部积分法求解不定积分

原理：分部积分法基于乘积的微分法则，适用于被积函数为两个函数乘积的不定积分。步骤1.选择$u$和$dv$：将被积函数拆分为两部分，一部分作为$u$（优先选取容易求导的函数），另一部分作为$dv$（优先选取容易积分的函数）。2.对$u$求导得到$du$，对$dv$积分得到$v$。3.应用公式$intudv=uv-intvdu$进行计算。分部积分法原理及步骤

例题1求解$int