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微积分赵树嫄
2024-01-25
CATALOGUE
目录
绪论
极限与连续
导数与微分
积分学
微分中值定理及其应用
重积分与曲线积分
无穷级数
01
绪论
1
2
3
早在古希腊时期，阿基米德等数学家就开始研究曲线的长度、面积和体积等问题，初步体现了微积分的思想。
古代微积分思想的萌芽
17世纪，牛顿和莱布尼茨分别独立地创立了微积分学，为数学和物理学的发展开辟了新的道路。
17世纪微积分的创立
这一时期，数学家们对微积分的理论基础进行了深入研究，完善了微积分的理论体系，并将其应用于更广泛的领域。
18-19世纪微积分的发展
微分学主要研究函数在某一点处的局部性质，通过求导数等方法揭示函数的变化规律。
微分思想
积分思想
微积分基本定理
积分学主要研究函数在一定区间上的整体性质，通过求原函数等方法计算面积、体积等物理量。
揭示了微分与积分之间的内在联系，是微积分学的核心定理。
03
02
01
本书共分为若干章，分别介绍微积分的基本概念、微分学、积分学、微分方程等内容。
章节设置
本书从基础知识出发，逐步深入，形成完整的知识体系，便于读者系统学习。
知识体系
每章后附有习题，供读者练习巩固所学知识；书末附有习题解答，供读者参考。
习题与解答
02
极限与连续
描述函数在某一点或无穷远处的变化趋势。
极限的定义
唯一性、局部有界性、保号性、四则运算法则等。
极限的性质
左右极限存在且相等。
极限存在的条件
03
无穷小量与无穷大量之间的关系
无穷小量的倒数是无穷大量，反之亦然。
01
无穷小量的定义
以零为极限的变量。
02
无穷大量的定义
绝对值无限增大的变量。
03
导数与微分
微分是函数局部变化的一种线性近似，通过求导数得到微分。
微分的定义
在几何上，微分可以描述曲线的切线；在物理上，微分可以描述速度、加速度等；在经济上，微分可以描述边际效应等。
微分的应用
揭示了函数与其导数之间的内在联系，为微分学的应用提供了理论基础。
微分中值定理
高阶导数的定义
函数的高阶导数是指其导数的导数，以此类推可以得到更高阶的导数。
04
积分学
不定积分是求一个函数的原函数或反导数的过程，其结果是一个函数族，每个函数之间相差一个常数。
不定积分的定义
不定积分具有线性性、可加性和常数倍性质。此外，还有换元积分法和分部积分法两种基本的求解方法。
不定积分的性质
包括幂函数、三角函数、指数函数、对数函数等的基本积分公式，以及乘积的积分、复合函数的积分等法则。
常见的不定积分公式和法则
定积分的定义
01
定积分是求一个函数在闭区间上的积分值，其结果是一个数。定积分的概念与不定积分密切相关，可以通过不定积分来计算定积分。
定积分的性质
02
定积分具有线性性、可加性、保号性、绝对值不等式性质等。此外，还有牛顿-莱布尼兹公式和微积分基本定理等重要结论。
常见的定积分公式和法则
03
包括幂函数、三角函数、指数函数、对数函数等的基本定积分公式，以及分部积分法、换元积分法等求解方法。
广义积分的概念
广义积分是指被积函数在无穷区间或包含无界点的有限区间上的积分，其结果可能是一个数或无穷大。
含参量积分的概念
含参量积分是指被积函数中除了自变量外还含有其他参数的积分，其结果是一个关于参数的函数。
广义积分与含参量积分的求解方法
对于广义积分，可以通过变量替换或分部积分等方法将其转化为普通定积分进行求解；对于含参量积分，可以通过求导或积分变换等方法得到关于参数的函数表达式。
05
微分中值定理及其应用
费马引理
罗尔定理
拉格朗日中值定理
柯西中值定理
若函数f(x)在点x0处可导且取得极值，则f(x0)=0。
若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则至少存在一点c∈(a,b)，使得f(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则至少存在一点c∈(a,b)，使得f(c)=0。
若函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且g(x)≠0，则至少存在一点c∈(a,b)，使得[f(b)-f(a)]/g(b)-g(a)=f(c)/g(c)。
在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
洛必达法则
用多项式逼近一个函数的方法，即一个函数可以展开成无穷级数的形式。
泰勒公式
极值
若函数在某点的函数值比其附近点的函数值都大（或小），则该点为函数的极大值（或极小值）点。
单调性
若函数在某区间内单调增加（或减少），则该函数在此区间内任意两点的函数值满足大小关系。
驻点与拐点
驻点是函数的一阶导数为零的点，拐点是函数的凹凸性发生改变的点。
06
重积分与曲线积分
设函数$f(x,y)$在可求面积的
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